Про цю підготовку
Діагностичний тест з математики, 11 клас: вектори в просторі. 10 завдань з відповідями та поясненнями. Теми: Вектори в просторі, Координати вектора, Довжина вектора, Скалярний добуток, Кут між векторами, Колінеарність і перпендикулярність векторів. Тривалість — 55 хв.
Завдання діагностики
Нижче — повний перелік завдань із правильними відповідями та поясненнями. На занятті репетитор може приховати відповіді й відкривати їх після спроби учня.
1
Знайдіть координати вектора \u2192AB, якщо A(1; -2; 3), B(4; 0; -1).
(3; 2; -4)
(-3; -2; 4)
(5; -2; 2)
(3; -2; -4)
Пояснення: Координати вектора \u2192AB знаходимо як B - A: (4-1; 0-(-2); -1-3) = (3; 2; -4).
2
Знайдіть довжину вектора \u2192a = (2; -1; 2).
3
5
\u221a3
4
Пояснення: Довжина вектора: |a| = \u221a(2^2 + (-1)^2 + 2^2) = \u221a9 = 3.
3
Який із векторів є колінеарним вектору \u2192a = (1; 2; 3)?
(2; 4; 6)
(2; 3; 4)
(1; 3; 2)
(-1; 2; 3)
Пояснення: Колінеарні вектори пропорційні. Вектор (2; 4; 6) = 2\u00b7(1; 2; 3).
4
Обчисліть скалярний добуток векторів \u2192a = (1; 2; -1) і \u2192b = (3; 0; 4).
-1
1
7
-7
Пояснення: Скалярний добуток: 1\u00b73 + 2\u00b70 + (-1)\u00b74 = 3 + 0 - 4 = -1.
5
Знайдіть кут між векторами \u2192a = (1; 0; 0) і \u2192b = (1; 1; 0).
45\u00b0
30\u00b0
60\u00b0
90\u00b0
Пояснення: cos\u03b8 = (a\u00b7b)/(|a||b|) = 1/(1\u00b7\u221a2) = 1/\u221a2, тому \u03b8 = 45\u00b0.
6
Які з наведених тверджень є правильними?
Якщо скалярний добуток двох векторів дорівнює 0, то вони перпендикулярні.
Якщо два вектори колінеарні, то їхні координати пропорційні.
Довжина вектора може бути від'ємною.
Вектор у просторі має три координати.
Пояснення: Правильні твердження: нульовий скалярний добуток означає перпендикулярність; колінеарні вектори мають пропорційні координати; у просторі вектор задають трьома координатами.
7
Знайдіть координати вектора \u2192c = 2\u2192a - \u2192b, якщо \u2192a = (1; -1; 2), \u2192b = (3; 0; -1).
(-1; -2; 5)
(5; -2; 3)
(-1; 2; 5)
(1; -2; 1)
Пояснення: 2\u2192a = (2; -2; 4), тоді 2\u2192a - \u2192b = (2-3; -2-0; 4-(-1)) = (-1; -2; 5).
8
Знайдіть значення x, при якому вектори \u2192a = (x; 2; 1) і \u2192b = (3; 6; 3) колінеарні.
1
2
3
6
Пояснення: Для колінеарності координати мають бути пропорційні. Оскільки (3; 6; 3) = 3\u00b7(1; 2; 1), то x = 1.
9
Знайдіть значення x, при якому вектори \u2192a = (2; x; 1) і \u2192b = (1; 2; -4) перпендикулярні.
-2
2
-1
1
Пояснення: Перпендикулярність означає нульовий скалярний добуток: 2\u00b71 + x\u00b72 + 1\u00b7(-4) = 0. Маємо 2 + 2x - 4 = 0, звідси 2x - 2 = 0, x = 1? Перевіримо: 2 + 2x - 4 = 2x - 2 = 0, тому x = 1. Правильна відповідь: 1.
10
Оберіть усі правильні властивості скалярного добутку векторів у просторі.
\u2192a\u00b7\u2192b = \u2192b\u00b7\u2192a
\u2192a\u00b7(\u2192b + \u2192c) = \u2192a\u00b7\u2192b + \u2192a\u00b7\u2192c
\u2192a\u00b7\u2192a = |\u2192a|
\u2192a\u00b7\u2192a = |\u2192a|^2
Пояснення: Скалярний добуток комутативний, дистрибутивний відносно додавання, а добуток вектора на самого себе дорівнює квадрату його довжини.
