Про цю підготовку
Діагностичний тест з математики, 10 клас: Рівняння та нерівності. 11 завдань з відповідями та поясненнями. Теми: Рівняння та нерівності, Функції та їхні властивості, Похідна та її застосування, Тригонометрія, Геометрія на площині та в просторі. Тривалість — 55 хв.
Завдання діагностики
Нижче — повний перелік завдань із правильними відповідями та поясненнями. На занятті репетитор може приховати відповіді й відкривати їх після спроби учня.
1
Розв’яжіть рівняння: 2x^2 - 5x - 3 = 0.
x = -\frac{1}{2} і x = 3
x = \frac{1}{2} і x = -3
x = -3 і x = 2
x = 1 і x = -\frac{3}{2}
Пояснення: Знаходимо дискримінант: D = 25 + 24 = 49. Тоді x = \frac{5 \pm 7}{4}, звідси корені -\frac{1}{2} і 3.
2
Яка з наведених функцій є парною?
y = x^3 - x
y = x^2 + 1
y = 2x - 5
y = x^3 + 2
Пояснення: Парна функція задовольняє умову f(-x)=f(x). Для y = x^2 + 1 маємо f(-x)=(-x)^2+1=x^2+1.
3
Які з наведених тверджень правильні для похідної функції y = x^3 - 3x?
y' = 3x^2 - 3
y' = x^2 - 3
У точці x = 1 похідна дорівнює 0
Функція має критичні точки при x = -1 і x = 1
Пояснення: Похідна: y' = 3x^2 - 3 = 3(x^2-1). Нулі похідної: x = -1 і x = 1. У точці x=1 маємо y'(1)=0.
4
Знайдіть значення виразу sin 30° + cos 60°.
0
\frac{1}{2}
1
\sqrt{2}
Пояснення: sin 30° = \frac{1}{2}, cos 60° = \frac{1}{2}, тому сума дорівнює 1.
5
Розв’яжіть нерівність: x^2 - 4x + 3 > 0.
x \in (1;3)
x \in (-\infty;1) \cup (3;+\infty)
x \in [1;3]
x \in (-\infty;3)
Пояснення: x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3). Добуток додатний поза коренями, тому розв’язок: (-\infty;1) \cup (3;+\infty).
6
Які з наведених тверджень правильні для прямокутного трикутника?
Сума гострих кутів дорівнює 90°
Гіпотенуза завжди менша за катет
Квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів
Усі кути трикутника можуть бути гострими
Пояснення: У прямокутному трикутнику один кут 90°, тому сума двох гострих кутів дорівнює 90°. Також виконується теорема Піфагора.
7
Знайдіть координати вершини параболи y = (x - 2)^2 - 5.
(2; -5)
(-2; 5)
(5; -2)
(2; 5)
Пояснення: Функція задана у вершинній формі y = (x-a)^2 + b, тому вершина має координати (a; b) = (2; -5).
8
Знайдіть площу кола радіуса 6 см.
12\pi см^2
18\pi см^2
36\pi см^2
72\pi см^2
Пояснення: Площа кола обчислюється за формулою S = \pi r^2. Для r = 6 маємо S = 36\pi см^2.
9
Які з наведених чисел є розв’язками рівняння |x| = 4?
4
-4
2
0
Пояснення: Модуль числа дорівнює 4 для двох значень: x = 4 і x = -4.
10
Знайдіть значення виразу log_2 8 + log_2 4.
4
5
6
8
Пояснення: log_2 8 = 3, log_2 4 = 2, але тут потрібно уважно скласти: 3 + 2 = 5. Отже, правильна відповідь — 5.
11
У арифметичній прогресії a_1 = 3, d = 2. Знайдіть a_5.
9
11
13
15
Пояснення: Формула n-го члена: a_n = a_1 + (n-1)d. Тоді a_5 = 3 + 4\cdot 2 = 11. Уважно перевірте обчислення: правильне значення — 11.
