Про цю підготовку
Діагностичний тест з математики, 11 клас: Повторення курсу 7–10 класів. 10 завдань з відповідями та поясненнями. Теми: Повторення курсу 7–10 класів, Спрощення степеневих виразів, Підготовка до НМТ, Функціональна залежність, Нуль функції, Проміжки зростання і спадання функції, Графіки деяких функцій. Тривалість — 55 хв.
Завдання діагностики
Нижче — повний перелік завдань із правильними відповідями та поясненнями. На занятті репетитор може приховати відповіді й відкривати їх після спроби учня.
1
Спростіть вираз: \(a^3 \cdot a^5\).
\(a^{15}\)
\(a^8\)
\(a^{2}\)
\(a^{35}\)
Пояснення: Під час множення степенів з однаковою основою показники додають: \(a^3 \cdot a^5 = a^{3+5} = a^8\).
2
Спростіть вираз: \((x^2)^3\).
\(x^5\)
\(x^6\)
\(x^8\)
\(2x^3\)
Пояснення: Під час піднесення степеня до степеня показники множать: \((x^2)^3 = x^{2\cdot 3} = x^6\).
3
Спростіть вираз: \(\dfrac{m^7}{m^3}\), \(m \neq 0\).
\(m^{21}\)
\(m^4\)
\(m^{10}\)
\(\dfrac{1}{m^4}\)
Пояснення: Під час ділення степенів з однаковою основою показники віднімають: \(m^7/m^3 = m^{7-3} = m^4\).
4
Яке з наведених тверджень є прикладом функціональної залежності?
Для кожного значення \(x\) відповідає рівно одне значення \(y\).
Кожному значенню \(y\) відповідає рівно два значення \(x\).
Кожному значенню \(x\) відповідає будь-яка кількість значень \(y\).
Значення \(x\) і \(y\) не пов’язані між собою.
Пояснення: Функція — це залежність, у якій кожному значенню аргументу \(x\) відповідає єдине значення \(y\).
5
Знайдіть нуль функції \(y = 3x - 6\).
\(x=6\)
\(x=2\)
\(x=-2\)
\(x=\frac{1}{2}\)
Пояснення: Нуль функції — це значення \(x\), при якому \(y=0\). Розв’язуємо: \(3x-6=0\), звідси \(3x=6\), \(x=2\).
6
Яка з функцій є зростаючою на всій області визначення?
\(y=-2x+1\)
\(y=\dfrac{1}{x}\)
\(y=4x-3\)
\(y=x^2\)
Пояснення: Лінійна функція \(y=kx+b\) є зростаючою, якщо \(k>0\). У функції \(y=4x-3\) коефіцієнт \(k=4>0\).
7
Для функції \(y=-x^2+4\) вкажіть правильне твердження.
Функція зростає на всій числовій прямій.
Функція спадає на всій числовій прямій.
Функція зростає на \((-∞;0]\) і спадає на \([0;+∞)\).
Функція зростає на \((-∞;0]\) і спадає на \([0;+∞)\).
Пояснення: Парабола \(y=-x^2+4\) має гілки вниз, вершина в точці \((0;4)\). Тому до вершини функція зростає, а після неї — спадає.
8
Який графік відповідає функції \(y=x-2\)?
Пряма, що проходить через точки \((0;-2)\) і \((2;0)\)
Парабола з вершиною в точці \((0;2)\)
Гіпербола з двома вітками
Пряма, що проходить через точки \((0;2)\) і \((2;0)\)
Пояснення: Для \(y=x-2\) при \(x=0\) маємо \(y=-2\), а при \(x=2\) маємо \(y=0\). Отже, графік — пряма через ці точки.
9
Спростіть вираз: \(\dfrac{2x^3y^2 \cdot 3xy^5}{6x^2y^3}\), \(x \neq 0, y \neq 0\).
\(xy^4\)
\(x^2y^6\)
\(6x^2y^4\)
\(\dfrac{x}{y^4}\)
Пояснення: Множимо коефіцієнти: \(2\cdot 3/6=1\). Для степенів: \(x^{3+1-2}=x^2\)? Перевіримо уважно: у чисельнику \(x^3\cdot x=x^4\), у знаменнику \(x^2\), отже лишається \(x^2\). Для \(y\): \(y^2\cdot y^5=y^7\), ділимо на \(y^3\), лишається \(y^4\). Отже правильне спрощення — \(x^2y^4\).
10
Яке значення \(x\) є розв’язком рівняння \(x^2=9\)?
Лише \(x=3\)
Лише \(x=-3\)
\(x=3\) і \(x=-3\)
Розв’язків немає
Пояснення: Квадрат числа дорівнює 9 для двох значень: \(3^2=9\) і \((-3)^2=9\).
