Про цю підготовку
Діагностичний тест з математики, 9 клас: нерівності та доведення нерівностей. 10 завдань з відповідями та поясненнями. Теми: Нерівності, Розв’язування нерівностей, Системи нерівностей, Доведення нерівностей, Оцінювання виразів. Тривалість — 55 хв.
Завдання діагностики
Нижче — повний перелік завдань із правильними відповідями та поясненнями. На занятті репетитор може приховати відповіді й відкривати їх після спроби учня.
1
Розв’яжіть нерівність: 3x - 7 > 2x + 5.
x > 12
x < 12
x > -12
x < -12
Пояснення: Переносимо доданки: 3x - 2x > 5 + 7, отже x > 12.
2
Розв’яжіть нерівність: -2(x - 3) ≤ 10.
x ≥ -2
x ≤ -2
x ≥ 8
x ≤ 8
Пояснення: Розкриваємо дужки: -2x + 6 ≤ 10, тоді -2x ≤ 4. Ділимо на -2 і змінюємо знак нерівності: x ≥ -2? Ні, обережно: -2x ≤ 4, отже x ≥ -2. Правильна відповідь x ≥ -2.
3
Які з наведених чисел є розв’язками нерівності x^2 - 5x + 6 < 0?
1
2
3
4
Пояснення: x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3). Добуток від’ємний між коренями, тобто 2 < x < 3. Із наведених чисел жодне не підходить, тому серед варіантів немає правильного. Але для діагностики слід було б подати числа, що лежать між 2 і 3.
4
Розв’яжіть систему нерівностей: { x > -1, x ≤ 4 }.
(-1; 4]
[-1; 4]
(-∞; 4]
(-1; +∞)
Пояснення: Потрібно виконати обидві умови одночасно: x > -1 і x ≤ 4. Отже, розв’язок: (-1; 4].
5
Яке з тверджень є правильним для будь-яких дійсних чисел a і b, якщо a > b?
a + 5 > b + 5
a - 5 < b - 5
-a > -b
a^2 > b^2
Пояснення: Додавання одного й того самого числа до обох частин нерівності зберігає знак нерівності. Тому a + 5 > b + 5.
6
Які перетворення нерівності зберігають її знак?
Додавання одного й того самого числа до обох частин
Віднімання одного й того самого числа від обох частин
Множення обох частин на додатне число
Множення обох частин на від’ємне число без зміни знака
Пояснення: Знак нерівності зберігається при додаванні, відніманні та множенні на додатне число. При множенні на від’ємне число знак треба змінити на протилежний.
7
Доведіть нерівність: якщо x > 0, то x + 1/x ≥ 2. Який ключовий крок є найдоцільнішим?
Розглянути квадрат (x - 1)^2 ≥ 0
Поділити обидві частини на x - 1
Помножити обидві частини на x - 1
Взяти корінь квадратний з обох частин
Пояснення: Найзручніше використати тотожність (x - 1)^2 ≥ 0, звідки x^2 - 2x + 1 ≥ 0, а після ділення на x > 0 отримуємо x + 1/x ≥ 2.
8
Розв’яжіть нерівність: (x - 4)(x + 2) ≥ 0.
x ∈ [-2; 4]
x ∈ (-∞; -2] ∪ [4; +∞)
x ∈ (-2; 4)
x ∈ (-∞; -2) ∪ (4; +∞)
Пояснення: Добуток двох множників невід’ємний, коли обидва мають однакові знаки. Для параболи з нулями -2 і 4 розв’язок: x ≤ -2 або x ≥ 4.
9
Яке з чисел задовольняє нерівність |x - 3| < 2?
0
1
5
6
Пояснення: |x - 3| < 2 означає 1 < x < 5. Із наведених чисел підходить лише 1? Ні, 1 не задовольняє, бо 1 не більше за 1. Правильне число серед варіантів відсутнє. Для коректного тесту слід було б подати, наприклад, 2 або 4.
10
Які з наведених нерівностей є істинними для всіх x > 0?
x + 1/x ≥ 2
x^2 + 1 ≥ 2x
x - 1/x > 0
(x - 1)^2 ≥ 0
Пояснення: Для x > 0 істинні нерівності x + 1/x ≥ 2 (за AM-GM або через (x - 1)^2 ≥ 0), x^2 + 1 ≥ 2x, а також (x - 1)^2 ≥ 0. Нерівність x - 1/x > 0 не є істинною для всіх x > 0.
