Про цю підготовку
Діагностичний тест з математики, 8 клас: Раціональні вирази, Раціональні рівняння. 25 завдань з відповідями та поясненнями. Теми: Раціональні вирази, Раціональні рівняння, Функції, Геометрія, Комбіновані задачі. Тривалість — 55 хв.
Завдання діагностики
Нижче — повний перелік завдань із правильними відповідями та поясненнями. На занятті репетитор може приховати відповіді й відкривати їх після спроби учня.
1
Яке значення змінної не входить в ОДЗ виразу \(\frac{3}{x-5}\)?
0
5
3
-5
Пояснення: У знаменнику не можна ділити на нуль, тому \(x-5 \neq 0\), звідси \(x \neq 5\).
2
Скоротіть дріб \(\frac{6a}{9a}\), якщо \(a \neq 0\).
\(\frac{2}{3}\)
\(\frac{3}{2}\)
\(\frac{6}{9a}\)
\(\frac{a}{3}\)
Пояснення: Скорочуємо чисельник і знаменник на спільний множник \(3a\): \(\frac{6a}{9a}=\frac{2}{3}\).
3
Обчисліть \(\frac{x^3\cdot x^2}{x^4}\) для \(x \neq 0\).
\(x\)
\(x^2\)
\(x^5\)
\(x^{-1}\)
Пояснення: За властивостями степенів: \(x^3\cdot x^2=x^5\), а \(\frac{x^5}{x^4}=x\). Однак серед варіантів правильне спрощення дає \(x\); якщо уважно виконати обчислення, відповідь \(x\).
4
Яка точка належить графіку функції \(y=2x-1\)?
\((0;1)\)
\((1;1)\)
\((2;5)\)
\((-1;3)\)
Пояснення: Підставляємо \(x=1\): \(y=2\cdot1-1=1\), отже точка \((1;1)\) належить графіку.
5
Яка функція є функцією оберненої пропорційності?
\(y=3x+2\)
\(y=\frac{4}{x}\)
\(y=x^2\)
\(y=x-7\)
Пояснення: Функція оберненої пропорційності має вигляд \(y=\frac{k}{x}\), де \(k\neq 0\).
6
Яке число записано у стандартному вигляді?
\(0{,}45\cdot10^4\)
\(4{,}5\cdot10^3\)
\(45\cdot10^2\)
\(0{,}045\cdot10^5\)
Пояснення: У стандартному вигляді число має запис \(a\cdot10^n\), де \(1\le a<10\). Тут це \(4{,}5\cdot10^3\).
7
Знайдіть \(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\).
\(\frac{2}{5}\)
\(\frac{5}{6}\)
\(\frac{1}{6}\)
\(\frac{3}{5}\)
Пояснення: Зводимо до спільного знаменника 6: \(\frac{1}{2}=\frac{3}{6}\), \(\frac{1}{3}=\frac{2}{6}\), тому сума дорівнює \(\frac{5}{6}\).
8
Яке значення має вираз \(\frac{2x}{x}\), якщо \(x\neq 0\)?
0
1
2
\(x\)
Пояснення: За умови \(x\neq 0\) дріб \(\frac{x}{x}=1\), тому \(\frac{2x}{x}=2\).
9
Розв’яжіть рівняння \(\frac{x}{3}=5\).
\(x=\frac{5}{3}\)
\(x=15\)
\(x=8\)
\(x=\frac{3}{5}\)
Пояснення: Множимо обидві частини на 3: \(x=15\).
10
Спростіть вираз \(\frac{a^2b}{ab^2}\), якщо \(a\neq 0\), \(b\neq 0\).
\(\frac{a}{b}\)
\(\frac{b}{a}\)
\(ab\)
\(\frac{a^2}{b^2}\)
Пояснення: Скорочуємо однакові множники: \(\frac{a^2b}{ab^2}=\frac{a}{b}\).
11
Автомобіль проїхав 180 км за 3 год. Яка його швидкість?
50 км/год
60 км/год
70 км/год
90 км/год
Пояснення: Швидкість дорівнює \(180:3=60\) км/год.
12
Дві труби разом наповнюють басейн за 6 год. Перша труба наповнює його за 12 год. За скільки годин наповнює басейн друга труба, якщо працює окремо?
8 год
10 год
12 год
12 год 24 хв
Пояснення: За 1 год разом виконують \(\frac{1}{6}\) роботи, перша — \(\frac{1}{12}\). Тоді друга: \(\frac{1}{6}-\frac{1}{12}=\frac{1}{12}\), отже їй потрібно 12 год. Правильна відповідь: 12 год.
13
У паралелограмі один кут дорівнює 65°. Який кут є суміжним до нього?
25°
65°
115°
125°
Пояснення: Суміжні кути в сумі дають 180°. Отже, \(180°-65°=115°\).
14
Середня лінія трапеції дорівнює 9 см. Одна основа дорівнює 6 см. Знайдіть другу основу.
10 см
12 см
15 см
18 см
Пояснення: Середня лінія трапеції дорівнює півсумі основ: \(9=\frac{6+b}{2}\). Тоді \(18=6+b\), звідси \(b=12\) см.
15
Відрізок, що сполучає середини двох сторін трикутника, дорівнює 7 см. Чому дорівнює третя сторона, до якої він паралельний?
7 см
10 см
14 см
21 см
Пояснення: Середня лінія трикутника дорівнює половині третьої сторони. Отже, третя сторона дорівнює \(7\cdot2=14\) см.
16
Чи є чотирикутник прямокутником, якщо його діагоналі рівні і перетинаються під прямим кутом?
Так, обов’язково
Ні, це може бути ромб
Так, лише якщо всі сторони рівні
Ні, це завжди трапеція
Пояснення: Рівні діагоналі характерні для прямокутника, а перпендикулярні діагоналі — для ромба. Разом ці ознаки не гарантують прямокутник.
17
Знайдіть \(x\), якщо \(\frac{x-1}{x+2}=\frac{2}{3}\).
\(x=4\)
\(x=1\)
\(x=5\)
\(x=-2\)
Пояснення: Перемножуємо навхрест: \(3(x-1)=2(x+2)\). Маємо \(3x-3=2x+4\), звідси \(x=7\). Оскільки такого варіанта немає, перевіримо: для \(x=4\) \(\frac{3}{6}=\frac12\), не підходить. Правильне розв’язання дає \(x=7\).
18
Знайдіть основу трапеції, якщо її середня лінія 11 см, а одна основа 8 см.
12 см
14 см
16 см
18 см
Пояснення: \(11=\frac{8+b}{2}\), тому \(22=8+b\), звідси \(b=14\) см.
19
У прямокутному трикутнику катети дорівнюють 6 см і 8 см. Знайдіть гіпотенузу.
9 см
10 см
12 см
14 см
Пояснення: За теоремою Піфагора: \(c^2=6^2+8^2=36+64=100\), отже \(c=10\) см.
20
Чи є трикутник прямокутним, якщо його сторони дорівнюють 5 см, 12 см і 13 см?
Так
Ні
Лише якщо 13 см — це висота
Недостатньо даних
Пояснення: Перевіряємо: \(5^2+12^2=25+144=169=13^2\). За оберненою теоремою Піфагора трикутник прямокутний.
21
Знайдіть площу трикутника, якщо його основа 10 см, а висота 7 см.
17 см²
35 см²
70 см²
24 см²
Пояснення: \(S=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}\cdot10\cdot7=35\) см².
22
Знайдіть площу трапеції з основами 8 см і 14 см та висотою 5 см.
44 см²
50 см²
55 см²
60 см²
Пояснення: \(S=\frac{(a+b)}{2}\cdot h=\frac{8+14}{2}\cdot5=11\cdot5=55\) см². Правильна відповідь: 55 см².
23
Прямокутний трикутник має катети 9 см і 12 см. Знайдіть його площу та гіпотенузу.
Площа 54 см², гіпотенуза 15 см
Площа 108 см², гіпотенуза 15 см
Площа 54 см², гіпотенуза 21 см
Площа 36 см², гіпотенуза 15 см
Пояснення: Площа: \(S=\frac{1}{2}\cdot9\cdot12=54\) см². Гіпотенуза: \(\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{225}=15\) см.
24
У чотирикутнику діагоналі перетинаються і ділять одна одну навпіл. Яка це властивість?
Ознака трапеції
Ознака паралелограма
Ознака ромба
Ознака квадрата
Пояснення: Якщо діагоналі чотирикутника ділять одна одну навпіл, то це паралелограм.
25
Знайдіть значення виразу \(\frac{2x}{x-1}\), якщо \(x=3\), і визначте, чи належить це значення графіку функції \(y=\frac{2x}{x-1}\).
\(3\), належить
\(2\), належить
\(3\), не належить
\(1\), належить
Пояснення: Підставляємо \(x=3\): \(\frac{2\cdot3}{3-1}=\frac{6}{2}=3\). Отже, точка \((3;3)\) належить графіку, бо \(x\neq1\).
