Про цю підготовку
Діагностичний тест з математики, 11 клас: логарифми. 11 завдань з відповідями та поясненнями. Теми: Визначення логарифма, Властивості логарифмів, Перетворення логарифмічних виразів, Рівняння з логарифмами, Область допустимих значень. Тривалість — 55 хв.
Завдання діагностики
Нижче — повний перелік завдань із правильними відповідями та поясненнями. На занятті репетитор може приховати відповіді й відкривати їх після спроби учня.
1
Яке з наведених чисел дорівнює \(\log_2 32\)?
4
5
6
8
Пояснення: Оскільки \(2^5 = 32\), то \(\log_2 32 = 5\).
2
Обчисліть \(\log_{10} 0{,}001\).
-1
-2
-3
3
Пояснення: Оскільки \(0{,}001 = 10^{-3}\), то \(\log_{10} 0{,}001 = -3\).
3
Які з наведених властивостей логарифмів є правильними для додатних \(a\), \(b\), \(x\), \(y\) та \(a \neq 1\)?
\(\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y\)
\(\log_a\left(\frac{x}{y}\right)=\log_a x-\log_a y\)
\(\log_a(x^n)=n\log_a x\)
\(\log_a(x+y)=\log_a x+\log_a y\)
Пояснення: Сума під знаком логарифма не розкладається на суму логарифмів, а добуток, частка і степінь мають стандартні властивості.
4
Знайдіть \(\log_3 81\).
3
4
5
9
Пояснення: Оскільки \(3^4 = 81\), то \(\log_3 81 = 4\).
5
Яка область допустимих значень виразу \(\log_2(x-3)\)?
\(x>3\)
\(x\ge 3\)
\(x<3\)
\(x\neq 3\)
Пояснення: Аргумент логарифма має бути додатним: \(x-3>0\), звідси \(x>3\).
6
Розв’яжіть рівняння \(\log_5 x = 2\).
7
10
25
125
Пояснення: За означенням логарифма \(\log_5 x = 2\) означає \(x=5^2=25\).
7
Обчисліть \(\log_2 8 + \log_2 4\).
4
5
6
8
Пояснення: \(\log_2 8=3\), \(\log_2 4=2\), тому сума дорівнює \(5\).
8
Які з наведених виразів мають зміст?
\(\log_3 9\)
\(\log_5(-2)\)
\(\log_{1/2} 8\)
\(\log_7 0\)
Пояснення: Аргумент логарифма має бути додатним, а основа — додатною і не дорівнювати 1. Тому \(\log_3 9\) і \(\log_{1/2} 8\) мають зміст.
9
Спростіть вираз \(\log_2 16 - \log_2 2\).
2
3
4
8
Пояснення: \(\log_2 16=4\), \(\log_2 2=1\), тому різниця дорівнює \(3\).
10
Розв’яжіть рівняння \(\log_2(x-1)=3\).
7
8
9
6
Пояснення: За означенням логарифма \(x-1=2^3=8\), отже \(x=9\). Але потрібно перевірити уважно: \(\log_2(x-1)=3\) дає \(x-1=8\), тому \(x=9\).
11
Яке значення має \(\log_4 2\)?
\(\frac{1}{2}\)
2
1
\(\frac{1}{4}\)
Пояснення: Оскільки \(4^{1/2}=2\), то \(\log_4 2=\frac{1}{2}\).
