Про цю підготовку
Діагностичний тест з математики, 6 клас: олімпіадний рівень після 6 класу. 18 завдань з відповідями та поясненнями. Теми: Дроби та відсотки, Ділення з остачею, Числові закономірності, Рівняння та логічні міркування, Геометрія на площині, Комбінаторика та підрахунок варіантів. Тривалість — 55 хв.
Завдання діагностики
Нижче — повний перелік завдань із правильними відповідями та поясненнями. На занятті репетитор може приховати відповіді й відкривати їх після спроби учня.
1
Яке число є найбільшим?
\(\frac{7}{8}\)
\(\frac{5}{6}\)
\(\frac{9}{10}\)
\(\frac{4}{5}\)
Пояснення: Порівняємо дроби, зводячи їх до десяткових: \(\frac{7}{8}=0{,}875\), \(\frac{5}{6}\approx0{,}833\), \(\frac{9}{10}=0{,}9\), \(\frac{4}{5}=0{,}8\). Найбільше число — \(\frac{9}{10}\).
2
Знайдіть значення виразу: \(48 : (3 \cdot 4) + 5\).
7
9
11
13
Пояснення: Спочатку виконуємо дії в дужках: \(3\cdot4=12\). Далі \(48:12=4\). Потім \(4+5=9\).
3
Які з наведених чисел діляться на 3?
123
245
318
1001
999
Пояснення: Число ділиться на 3, якщо сума його цифр ділиться на 3. Для 123 маємо 1+2+3=6; для 318 — 3+1+8=12; для 999 — 9+9+9=27. Усі ці суми кратні 3.
4
У послідовності \(2, 5, 11, 23, 47, \dots\) кожен наступний член утворюється за одним і тим самим правилом. Яке наступне число?
91
89
95
93
Пояснення: Кожне число отримуємо за правилом: попереднє помножити на 2 і додати 1. Тоді \(47\cdot2+1=95\) — ні, перевіримо уважно: 2→5, 5→11, 11→23, 23→47. Це правило \(x\mapsto 2x+1\). Отже, наступне: \(47\cdot2+1=95\).
5
Знайдіть число, якщо 35% від нього дорівнює 84.
210
220
240
280
Пояснення: Нехай число дорівнює \(x\). Тоді \(0{,}35x=84\), звідси \(x=84:0{,}35=240\).
6
Скільки цілих чисел лежить між числами 17 і 52, не включаючи кінці відрізка?
34
35
36
37
Пояснення: Потрібно порахувати числа від 18 до 51 включно. Їх кількість: \(51-18+1=34\). Перевіримо через формулу: між 17 і 52 є \(52-17-1=34\) числа. Отже, правильна відповідь — 34.
7
Які з наведених тверджень правильні?
Сума двох непарних чисел є парною
Добуток двох непарних чисел є парним
Сума парного і непарного числа є непарною
Добуток парного і будь-якого цілого числа є парним
Пояснення: Непарне + непарне = парне. Парне + непарне = непарне. Якщо один множник парний, то добуток парний. Тому правильні твердження: a, c, d.
8
У прямокутника довжина 12 см, а ширина на 3 см менша. Знайдіть периметр прямокутника.
42 см
45 см
48 см
54 см
Пояснення: Ширина дорівнює \(12-3=9\) см. Периметр: \(2\cdot(12+9)=2\cdot21=42\) см. Отже, правильна відповідь — 42 см.
9
Знайдіть остачу від ділення числа \(7^{2025}\) на 4.
0
1
2
3
Пояснення: Оскільки \(7\equiv 3 \pmod 4\), то \(7^{2025}\equiv 3^{2025} \pmod 4\). Степені числа 3 за модулем 4 чергуються: 3, 1, 3, 1, ... Непарний степінь дає остачу 3? Перевіримо: \(3^1\equiv3\), \(3^2\equiv1\), \(3^3\equiv3\). Отже, остача — 3.
10
У коробці лежать 5 червоних, 4 синіх і 3 зелених кульки. Яка найменша кількість кульок, яку треба дістати навмання, щоб гарантовано серед них було щонайменше 2 кульки одного кольору?
2
3
4
5
Пояснення: Щоб якнайдовше не мати двох кульок одного кольору, можна дістати по одній кульці кожного з трьох кольорів. Четверта кулька обов’язково повторить один із кольорів. Отже, потрібно 4 кульки. Однак серед варіантів правильного 4 немає? Перевіримо умову: щонайменше 2 кульки одного кольору — це вже гарантовано після 4-ї. Тому правильна відповідь — 4.
11
Які з чисел є простими?
29
39
41
51
57
Пояснення: Просте число має рівно два дільники: 1 і саме число. 29 і 41 не діляться ні на 2, ні на 3, ні на 5, тому є простими. 39=3·13, 51=3·17, 57=3·19 — складені.
12
Знайдіть найменше натуральне число, яке при діленні на 2, 3 і 4 дає остачу 1.
11
13
15
17
Пояснення: Потрібно число виду \(k\), для якого \(k-1\) ділиться на 2, 3 і 4. Отже, \(k-1\) має бути кратним НСК(2,3,4)=12. Найменше таке число: \(12+1=13\).
13
Сума двох чисел дорівнює 48, а одне з них у 3 рази більше за інше. Знайдіть більше число.
12
24
36
40
Пояснення: Нехай менше число \(x\), тоді більше \(3x\). Маємо \(x+3x=48\), тобто \(4x=48\), звідси \(x=12\). Більше число: \(3\cdot12=36\).
14
Які з наведених рівностей є правильними?
\(\frac{3}{4}=\frac{6}{8}\)
\(\frac{5}{6}=\frac{10}{11}\)
\(\frac{2}{3}=\frac{8}{12}\)
\(\frac{7}{9}=\frac{14}{18}\)
Пояснення: Дріб не змінюється, якщо чисельник і знаменник помножити на одне й те саме число. Тому a, c, d правильні. У b чисельник і знаменник не є пропорційними.
15
У трикутнику два кути дорівнюють 35° і 65°. Знайдіть третій кут.
70°
80°
90°
100°
Пояснення: Сума кутів трикутника дорівнює 180°. Третій кут: \(180-35-65=80\). Отже, правильна відповідь — 80°.
16
Скільки різних трицифрових чисел можна скласти з цифр 1, 2, 3, якщо цифри не повторюються?
3
6
9
12
Пояснення: Першу цифру можна вибрати 3 способами, другу — 2 способами, третю — 1 способом. Отже, всього \(3\cdot2\cdot1=6\) чисел.
17
Знайдіть значення виразу: \(1+2+3+\dots+10\).
45
50
55
60
Пояснення: Сума перших 10 натуральних чисел дорівнює \(\frac{10\cdot11}{2}=55\).
18
Які з наведених чисел кратні 6?
18
24
30
42
45
Пояснення: Число кратне 6, якщо воно ділиться і на 2, і на 3. Числа 18, 24, 30, 42 задовольняють цю умову, а 45 — ні, бо не ділиться на 2.
