Пошук ОДЗ і раціональні дроби

Про цю підготовку

Умова задачі

Знайдіть область допустимих значень виразу та визначте, чи є він раціональним дробом: \[ \frac{2x-3}{x^2-9} \] Поясніть свій розв’язок і вкажіть, при яких значеннях змінної вираз не має змісту.

Підказки для пояснення

Відкривайте підказки поступово — спочатку дайте дитині подумати самостійно.

Підказка 1

Пригадайте означення раціонального дробу: це дріб, у якому чисельник і знаменник — многочлени.

Підказка 2

Щоб знайти ОДЗ, потрібно визначити, коли знаменник дорівнює нулю.

Підказка 3

Розкладіть знаменник на множники: \(x^2-9=(x-3)(x+3)\).

Підказка 4

Знайдіть значення \(x\), за яких знаменник стає нулем, і запишіть їх як обмеження.

Підказка 5

Після цього коротко сформулюйте висновок: чи є даний вираз раціональним дробом.

Покрокове розв’язання

Даний вираз має вигляд \(\frac{P(x)}{Q(x)}\), де \(P(x)=2x-3\), \(Q(x)=x^2-9\). Оскільки і чисельник, і знаменник є многочленами, то це раціональний дріб. Знайдемо ОДЗ. Для цього треба, щоб знаменник не дорівнював нулю: \[ x^2-9 \neq 0. \] Розкладемо на множники: \[ (x-3)(x+3) \neq 0. \] Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один множник дорівнює нулю, тобто: \[ x-3=0 \Rightarrow x=3, \] \[ x+3=0 \Rightarrow x=-3. \] Отже, ці значення треба виключити. Висновок: - вираз є раціональним дробом; - область допустимих значень: \(x \in \mathbb{R},\ x \neq 3,\ x \neq -3\). Якщо уявити це в сюжеті про капібар, то капібара може «рахувати морквинки» лише тоді, коли знаменник не стає нулем — бо на нуль ділити не можна.

Відповідь

Так, це раціональний дріб. ОДЗ: \(x \neq 3\) і \(x \neq -3\).

Часті запитання

Задача показує не лише відповідь, а й покрокову логіку розв’язання. Дитина вчиться міркувати, а не запам’ятовувати готовий результат.

Це поетапні наштовхування, які можна відкривати поступово. Спочатку дитина пробує сама, а підказка допомагає рушити з місця, не даючи готової відповіді.

Покрокове розв’язання написане простою мовою — ви можете розбирати його разом із дитиною. А репетитор Mathema пояснить тему системно й підбере схожі задачі.