Про цю підготовку
Діагностичний тест з математики, 11 клас: основні тригонометричні співвідношення та тригонометричні рівняння. 11 завдань з відповідями та поясненнями. Теми: Основні тригонометричні співвідношення, Тригонометричні рівняння, Розв’язування рівнянь на проміжку, НМТ-підготовка. Тривалість — 55 хв.
Завдання діагностики
Нижче — повний перелік завдань із правильними відповідями та поясненнями. На занятті репетитор може приховати відповіді й відкривати їх після спроби учня.
1
Яке з наведених тотожностей є правильною?
sin²x + cos²x = 1
sin²x - cos²x = 1
sin x + cos x = 1
tg²x + ctg²x = 1
Пояснення: Основна тригонометрична тотожність має вигляд sin²x + cos²x = 1.
2
Знайдіть значення tg x, якщо sin x = 3/5 і cos x = 4/5.
3/4
4/3
5/3
3/5
Пояснення: tg x = sin x / cos x = (3/5) / (4/5) = 3/4.
3
Розв’яжіть рівняння sin x = 1/2.
x = π/6 + 2πk або x = 5π/6 + 2πk, k ∈ Z
x = π/3 + 2πk, k ∈ Z
x = π/2 + πk, k ∈ Z
x = π/6 + πk, k ∈ Z
Пояснення: Синус дорівнює 1/2 у I та II чвертях: π/6 і 5π/6 з періодом 2π.
4
Розв’яжіть рівняння cos x = -1.
x = π + 2πk, k ∈ Z
x = 2πk, k ∈ Z
x = π/2 + 2πk, k ∈ Z
x = 3π/2 + πk, k ∈ Z
Пояснення: Косинус дорівнює -1 у точках x = π + 2πk.
5
Розв’яжіть рівняння 2sin²x - 1 = 0.
x = π/4 + πk або x = 3π/4 + πk, k ∈ Z
x = π/2 + πk, k ∈ Z
x = π/6 + 2πk, k ∈ Z
x = π/3 + 2πk, k ∈ Z
Пояснення: 2sin²x - 1 = 0 ⇒ sin²x = 1/2 ⇒ sin x = ±√2/2, звідси вказані розв’язки.
6
Розв’яжіть рівняння sin x = cos x.
x = π/4 + πk, k ∈ Z
x = π/2 + 2πk, k ∈ Z
x = 3π/4 + 2πk, k ∈ Z
x = π/4 + 2πk, k ∈ Z
Пояснення: Якщо cos x ≠ 0, то ділимо на cos x: tg x = 1, звідси x = π/4 + πk.
7
Скільки розв’язків має на проміжку [0; 2π) рівняння cos x = 1/2?
1
2
3
4
Пояснення: На проміжку [0; 2π) рівняння cos x = 1/2 має два розв’язки: π/3 і 5π/3.
8
Розв’яжіть рівняння tg x = -√3.
x = -π/3 + πk, k ∈ Z
x = π/3 + 2πk, k ∈ Z
x = 2π/3 + πk, k ∈ Z
x = -π/6 + 2πk, k ∈ Z
Пояснення: tg x = -√3 при x = -π/3 + πk, оскільки тангенс має період π.
9
Розв’яжіть рівняння sin 2x = 0.
x = πk/2, k ∈ Z
x = πk, k ∈ Z
x = π/4 + πk, k ∈ Z
x = π/2 + πk, k ∈ Z
Пояснення: sin 2x = 0 ⇒ 2x = πk ⇒ x = πk/2, k ∈ Z.
10
Розв’яжіть рівняння 2cos²x - 3cos x + 1 = 0.
x = 2πk або x = ±π/3 + 2πk, k ∈ Z
x = π/2 + πk, k ∈ Z
x = π/3 + πk, k ∈ Z
x = π + 2πk, k ∈ Z
Пояснення: Позначимо t = cos x. Маємо 2t² - 3t + 1 = 0, звідси t = 1 або t = 1/2. Тоді cos x = 1 або cos x = 1/2.
11
Розв’яжіть рівняння sin²x = sin x.
x = πk або x = π/2 + 2πk, k ∈ Z
x = π/6 + 2πk, k ∈ Z
x = π/4 + πk, k ∈ Z
x = 2πk, k ∈ Z
Пояснення: sin²x = sin x ⇒ sin x(sin x - 1)=0. Отже, sin x = 0 або sin x = 1.
