Про цю підготовку
Хочу зробити діагностичний тест з математики для учениці Таміли, 8 клас, на 70 хвилин, складного рівня. Потрібно включити подібність трикутників, властивості ромбів, теореми про паралельні прямі та бісектрису, теорему Фалеса, бісектриси трикутників, рівняння з параметрами, графіки функцій, степені та їх властивості, раціональні вирази й спрощення дробів. Хочу також зробити акцент на швидкості та більш складних завданнях.
Анна Ковтун
Автор підготовки
Завдання діагностики
Нижче — повний перелік завдань із правильними відповідями та поясненнями. На занятті репетитор може приховати відповіді й відкривати їх після спроби учня.
1
У трикутниках ABC і A1B1C1: ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1. Який висновок є правильним?
Трикутники рівні
Трикутники подібні
Трикутники перпендикулярні
Трикутники мають однакові периметри
Пояснення: Якщо два кути одного трикутника дорівнюють двом кутам іншого, то трикутники подібні за двома кутами.
2
У ромбі один кут дорівнює 68°. Яка міра сусіднього кута ромба?
68°
112°
90°
124°
Пояснення: У ромбі, як і в паралелограмі, сусідні кути є суміжними, тому їх сума дорівнює 180°. Отже, 180° - 68° = 112°.
3
Прямі a і b паралельні. Якщо січна утворює з прямою a кут 37°, то який кут вона утворює з прямою b у відповідному положенні?
37°
53°
143°
180°
Пояснення: Відповідні кути при паралельних прямих і січній рівні.
4
Які твердження є правильними для ромба?
Усі сторони ромба рівні
Діагоналі ромба перпендикулярні
Діагоналі ромба завжди рівні
Діагоналі ромба ділять його кути навпіл
Пояснення: Для ромба правильні твердження про рівність усіх сторін, перпендикулярність діагоналей і поділ кутів діагоналями навпіл.
5
У трикутнику бісектриса ділить протилежну сторону на відрізки 6 см і 9 см. У якому відношенні прилеглі сторони трикутника?
2:3
3:2
6:9
1:1
Пояснення: За теоремою про бісектрису трикутника прилеглі сторони відносяться як відповідні відрізки на протилежній стороні: 6:9 = 2:3.
6
У трикутнику через середину однієї сторони проведено пряму, паралельну другій стороні. Якщо відрізок на першій стороні дорівнює 5 см, то на яку довжину поділено цю сторону?
На 5 см і 5 см
На 2,5 см і 2,5 см
На 5 см і 10 см
Неможливо визначити
Пояснення: Якщо пряма проходить через середину сторони трикутника і паралельна другій стороні, то вона ділить цю сторону навпіл.
7
Знайдіть значення виразу: (2^3 · 2^5) / 2^4
2^4
2^6
2^12
2^8
Пояснення: За властивостями степенів: 2^3 · 2^5 = 2^8, а 2^8 / 2^4 = 2^4.
8
Скоротіть дріб: (x^2 - 9) / (x - 3), x ≠ 3
x - 3
x + 3
x^2 + 3
3 - x
Пояснення: Чисельник розкладається як різниця квадратів: x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3). Після скорочення маємо x + 3.
9
Функція задана формулою y = 2x - 1. Яка точка належить її графіку?
(0; 1)
(1; 1)
(2; 5)
(-1; 3)
Пояснення: Підставимо координати: для x = 1 маємо y = 2·1 - 1 = 1, отже точка (1; 1) належить графіку.
10
Знайдіть значення параметра a, при якому рівняння ax = 12 має розв’язок x = 3.
a = 4
a = 9
a = 36
a = 1/4
Пояснення: Підставляємо x = 3: 3a = 12, звідси a = 4.
11
Які перетворення є правильними?
a^m · a^n = a^(m+n)
(a^m)^n = a^(mn)
a^m / a^n = a^(m-n), a ≠ 0
a^m + a^n = a^(m+n)
Пояснення: Правильні основні властивості степенів: при множенні показники додаються, при піднесенні степеня до степеня показники множаться, при діленні показники віднімаються.
