Про цю підготовку
Діагностичний тест з математики, 10 клас: властивості кореня n-го степеня. 10 завдань з відповідями та поясненнями. Теми: Властивості кореня n-го степеня, Перетворення виразів із коренями, Порівняння та спрощення коренів, Рівняння з коренями n-го степеня. Тривалість — 55 хв.
Завдання діагностики
Нижче — повний перелік завдань із правильними відповідями та поясненнями. На занятті репетитор може приховати відповіді й відкривати їх після спроби учня.
1
Яка з рівностей є правильною для парного n і додатних a, b?
\(\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}\)
\(\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\)
\(\sqrt[n]{a+b}=\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}\)
\(\sqrt[n]{a^b}=\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}\)
Пояснення: Для додатних чисел виконується властивість добутку: корінь n-го степеня з добутку дорівнює добутку коренів.
2
Обчисліть \(\sqrt[3]{64x^3}\), якщо \(x\ge 0\).
\(4x\)
\(8x\)
\(4x^3\)
\(2x\)
Пояснення: \(\sqrt[3]{64x^3}=\sqrt[3]{64}\cdot\sqrt[3]{x^3}=4x\). Для кубічного кореня модуль не потрібен.
3
Оберіть усі правильні твердження для кореня n-го степеня.
\(\sqrt[n]{a^n}=a\) для всіх дійсних a і непарного n
\(\sqrt[n]{a^n}=|a|\) для парного n
\(\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}\) завжди для будь-яких дійсних a
\(\sqrt[n]{a^n b^n}=ab\) для непарного n
Пояснення: Потрібно враховувати парність n і область допустимих значень. Для парного n корінь з \(a^n\) дорівнює модулю \(|a|\).
4
Спростіть вираз \(\sqrt[4]{16a^8}\), якщо \(a\ge 0\).
\(2a^2\)
\(4a^2\)
\(2a^4\)
\(a^2\)
Пояснення: \(\sqrt[4]{16a^8}=\sqrt[4]{2^4\cdot (a^2)^4}=2a^2\), бо \(a\ge 0\).
5
Які з виразів можна безпосередньо спростити за властивістю \(\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}\) без додаткових умов?
\(\sqrt[5]{32\cdot 243}\)
\(\sqrt[4]{(-2)\cdot(-8)}\)
\(\sqrt[4]{-16\cdot 81}\)
\(\sqrt[3]{-27\cdot 8}\)
Пояснення: Для непарного n можна брати корінь із від’ємних чисел, а для парного n підкореневий вираз має бути невід’ємним.
6
Яке значення має вираз \(\sqrt[3]{-125}+\sqrt[3]{8}\)?
\(-3\)
\(-7\)
\(7\)
\(-5\)
Пояснення: \(\sqrt[3]{-125}=-5\), \(\sqrt[3]{8}=2\), тому сума дорівнює \(-3\). Перевірте уважно: правильна відповідь — \(-3\).
7
Порівняйте числа \(\sqrt[4]{16}\) і \(\sqrt[4]{81}\).
\(\sqrt[4]{16}>\sqrt[4]{81}\)
\(\sqrt[4]{16}<\sqrt[4]{81}\)
Вони рівні
Порівняти неможливо
Пояснення: Оскільки функція кореня n-го степеня зростає на невід’ємних числах, а \(16<81\), то \(\sqrt[4]{16}<\sqrt[4]{81}\).
8
Оберіть правильні перетворення виразу \(\sqrt[6]{x^6y^6}\), якщо \(x\ge 0\), \(y\ge 0\).
\(xy\)
\(\sqrt[6]{x^6}\cdot\sqrt[6]{y^6}\)
\(|xy|\)
\(x+y\)
Пояснення: За умови невід’ємності \(x\) і \(y\): \(\sqrt[6]{x^6y^6}=\sqrt[6]{(xy)^6}=xy\). Також можна розкласти корінь добутку на добуток коренів.
9
Знайдіть значення \(\sqrt[5]{\frac{1}{32}}\).
\(\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{4}\)
\(2\)
\(\frac{1}{8}\)
Пояснення: \(32=2^5\), тому \(\sqrt[5]{\frac{1}{32}}=\sqrt[5]{2^{-5}}=2^{-1}=\frac{1}{2}\).
10
У яких випадках запис \(\sqrt[n]{a^n}=a\) є правильним?
Якщо n непарне і a — будь-яке дійсне число
Якщо n парне і a\ge 0
Якщо n парне і a<0
Якщо n=1
Пояснення: Для непарного n корінь з \(a^n\) дорівнює \(a\) для будь-якого дійсного a. Для парного n це вірно лише за \(a\ge 0\).
