Про цю підготовку
Діагностичний тест з математики, 8 клас: алгебраїчні раціональні вирази. 36 завдань з відповідями та поясненнями. Теми: Алгебраїчні раціональні вирази, Скорочення дробів, Додавання і віднімання раціональних виразів, Множення і ділення раціональних виразів, Розкладання на множники, Групування, Формули скороченого множення. Тривалість — 55 хв.
Завдання діагностики
Нижче — повний перелік завдань із правильними відповідями та поясненнями. На занятті репетитор може приховати відповіді й відкривати їх після спроби учня.
1
Скоротіть дріб: (x² - 9)/(x - 3), x ≠ 3.
x - 3
x + 3
x² + 3
x - 9
Пояснення: Чисельник розкладається як різниця квадратів: x² - 9 = (x - 3)(x + 3). Після скорочення з x - 3 маємо x + 3.
2
Спростіть вираз: (2x)/(x²) для x ≠ 0.
2x
2/x
x/2
2/x²
Пояснення: x² = x·x, тому (2x)/(x²) = 2/x за умови x ≠ 0.
3
Знайдіть область допустимих значень виразу 1/(x - 5).
x ≠ 0
x ≠ 5
x > 5
x < 5
Пояснення: Знаменник не може дорівнювати нулю, тому x - 5 ≠ 0, звідси x ≠ 5.
4
Скоротіть дріб: (a² - 4a)/(a), a ≠ 0.
a - 4
a² - 4
a + 4
4 - a
Пояснення: a² - 4a = a(a - 4). Після скорочення з a отримуємо a - 4.
5
Розкладіть на множники: x² - 16.
(x - 4)(x + 4)
(x - 8)(x + 2)
(x - 16)(x + 1)
(x - 4)²
Пояснення: Це різниця квадратів: x² - 16 = x² - 4² = (x - 4)(x + 4).
6
Спростіть вираз: (x²y)/(xy²), x ≠ 0, y ≠ 0.
x/y
y/x
x²/y
y²/x
Пояснення: Скорочуємо x і y: x²/x = x, y/y² = 1/y. Отже, маємо x/y.
7
Спростіть суму: 3/x + 2/x.
5/x
6/x
5/x²
1/x
Пояснення: Однакові знаменники, тому додаємо чисельники: (3 + 2)/x = 5/x.
8
Спростіть вираз: (x² - 4)/(x + 2), x ≠ -2.
x - 2
x + 2
x² - 2
x - 4
Пояснення: x² - 4 = (x - 2)(x + 2). Після скорочення з x + 2 маємо x - 2.
9
Виконайте множення: (a - 3)(a + 3).
a² - 9
a² + 9
a² - 6a + 9
a² + 6a + 9
Пояснення: Це формула різниці квадратів: (a - 3)(a + 3) = a² - 3² = a² - 9.
10
Спростіть вираз: (2x)/(x - 1) - (x)/(x - 1).
x/(x - 1)
3x/(x - 1)
2/(x - 1)
1/(x - 1)
Пояснення: Знаменники однакові, тому віднімаємо чисельники: (2x - x)/(x - 1) = x/(x - 1).
11
Розкладіть на множники способом групування: ax + ay + bx + by.
(a + b)(x + y)
(a + x)(b + y)
(ax + b)(ay + y)
a(x + y) + b(x + y)
Пояснення: Групуємо: ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y).
12
Спростіть вираз: (x² - 2x)/(x), x ≠ 0.
x - 2
x + 2
2 - x
x² - 2
Пояснення: x² - 2x = x(x - 2). Після скорочення з x отримуємо x - 2.
13
Спростіть дріб: (x² - 1)/(x² + 2x + 1), x ≠ -1.
(x - 1)/(x + 1)
(x + 1)/(x - 1)
x - 1
x + 1
Пояснення: x² - 1 = (x - 1)(x + 1), а x² + 2x + 1 = (x + 1)². Після скорочення маємо (x - 1)/(x + 1).
14
Знайдіть значення виразу при x = 2: (x² - 4)/(x - 2).
0
2
Вираз не має змісту
4
Пояснення: При x = 2 знаменник дорівнює 0, тому значення виразу не існує.
15
Спростіть вираз: (3x²y)/(6xy).
x/2
x/3
y/2
3x/2
Пояснення: Скорочуємо коефіцієнти 3/6 = 1/2, x²/x = x, y/y = 1. Маємо x/2.
16
Розкладіть на множники: x² + 6x + 9.
(x + 3)²
(x - 3)²
(x + 9)(x + 1)
x(x + 9)
Пояснення: Це квадрат двочлена: x² + 6x + 9 = x² + 2·x·3 + 3² = (x + 3)².
17
Спростіть вираз: (x/(x - 2)) + (4/(x - 2)).
(x + 4)/(x - 2)
x + 4/(x - 2)
(x - 4)/(x - 2)
4x/(x - 2)
Пояснення: Знаменники однакові, тому додаємо чисельники: (x + 4)/(x - 2).
18
Скоротіть дріб: (a² - b²)/(a - b), a ≠ b.
a - b
a + b
a² + b²
a - 2b
Пояснення: a² - b² = (a - b)(a + b). Після скорочення з a - b маємо a + b.
19
Спростіть вираз: (2x - 6)/(x - 3), x ≠ 3.
2
x - 2
2x
x + 3
Пояснення: 2x - 6 = 2(x - 3). Після скорочення з x - 3 отримуємо 2.
20
Розкладіть на множники: x² - 5x + 6.
(x - 2)(x - 3)
(x + 2)(x + 3)
(x - 1)(x - 6)
(x + 1)(x + 6)
Пояснення: Потрібні числа 2 і 3, добуток яких 6, а сума 5. Отже, x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).
21
Спростіть вираз: (x² + 2x)/(x² - 4) · ((x - 2)/x), x ≠ 0, x ≠ ±2.
(x + 2)/(x - 2)
(x + 2)/x
x/(x + 2)
(x - 2)/(x + 2)
Пояснення: x² + 2x = x(x + 2), x² - 4 = (x - 2)(x + 2). Після скорочення x, x + 2 і x - 2 отримуємо (x + 2)/x.
22
Спростіть вираз: (1/(x + 1)) - (1/(x - 1)).
2/((x + 1)(x - 1))
-2/((x + 1)(x - 1))
(x - 1 - x - 1)/x
2/(x² + 1)
Пояснення: Зводимо до спільного знаменника: ((x - 1) - (x + 1))/((x + 1)(x - 1)) = -2/((x + 1)(x - 1)).
23
Скоротіть дріб: (4a² - 9)/(2a - 3), 2a ≠ 3.
2a - 3
2a + 3
4a + 9
a + 3
Пояснення: 4a² - 9 = (2a - 3)(2a + 3). Після скорочення з 2a - 3 маємо 2a + 3.
24
Розкладіть на множники способом групування: 2x² + 6x + xy + 3y.
(2x + y)(x + 3)
(x + y)(2x + 3)
(2x + 3y)(x + 1)
(2x + 6)(x + y)
Пояснення: Групуємо: 2x² + 6x + xy + 3y = 2x(x + 3) + y(x + 3) = (2x + y)(x + 3).
25
Спростіть вираз: (x² - 6x + 9)/(x - 3), x ≠ 3.
x - 3
x + 3
x² - 3
x - 9
Пояснення: x² - 6x + 9 = (x - 3)². Після скорочення з x - 3 отримуємо x - 3.
26
Спростіть вираз: (a/(a + b)) + (b/(a + b)).
1
a + b
ab/(a + b)
(a - b)/(a + b)
Пояснення: Однаковий знаменник, тому додаємо чисельники: (a + b)/(a + b) = 1, якщо a + b ≠ 0.
27
Спростіть вираз: (x² - y²)/(x + y), x ≠ -y.
x - y
x + y
y - x
x² - y
Пояснення: x² - y² = (x - y)(x + y). Після скорочення з x + y маємо x - y.
28
Розкладіть на множники: 3x² - 12.
3(x - 2)(x + 2)
(3x - 2)(x + 6)
3(x - 4)
(x - 2)²
Пояснення: Виносимо 3 за дужки: 3(x² - 4). Далі x² - 4 = (x - 2)(x + 2).
29
Спростіть вираз: (x² + 5x)/(x) - 5, x ≠ 0.
x
x + 5
5
x²
Пояснення: (x² + 5x)/x = x + 5. Тоді (x + 5) - 5 = x.
30
Спростіть вираз: ((x - 1)(x + 1))/(x² - 1), x ≠ ±1.
1
x
x²
-1
Пояснення: x² - 1 = (x - 1)(x + 1). Чисельник і знаменник однакові, тому дріб дорівнює 1.
31
Спростіть вираз: 5a - 2a + 3a.
6a
10a
a
0
Пояснення: Зводимо подібні доданки: 5a - 2a + 3a = (5 - 2 + 3)a = 6a.
32
Розв’яжіть рівняння: 3x - 7 = 11.
x = 6
x = 4
x = -6
x = 18
Пояснення: Додаємо 7 до обох частин: 3x = 18. Ділимо на 3: x = 6.
33
Знайдіть значення виразу 2² + 3².
13
25
36
5
Пояснення: 2² = 4, 3² = 9, тому 4 + 9 = 13.
34
Обчисліть: 7 · (−3).
−21
21
−10
10
Пояснення: Добуток додатного і від’ємного чисел є від’ємним: 7 · (−3) = −21.
35
Розв’яжіть нерівність: x + 4 > 9.
x > 5
x < 5
x > 13
x < 13
Пояснення: Віднімаємо 4 від обох частин: x > 5.
36
Знайдіть периметр прямокутника зі сторонами 3 см і 5 см.
8 см
10 см
16 см
15 см
Пояснення: Периметр прямокутника: P = 2(a + b) = 2(3 + 5) = 16 см.
