Про цю підготовку
Задача з математики, 10 клас: Рівняння з модулем. Покрокові підказки, повне розв’язання й відповідь. Тривалість — 55 хв.
Умова задачі
Підказки для пояснення
Відкривайте підказки поступово — спочатку дайте дитині подумати самостійно.
Підказка 1
Знайди точки, в яких вирази під модулем дорівнюють нулю: 2x - 5 = 0 та x + 1 = 0. Це допоможе розбити числову пряму на проміжки.
Підказка 2
Розглянь окремо випадки на кожному проміжку: x < -1, -1 ≤ x < 2.5, x ≥ 2.5. На кожному з них розкрий модулі відповідно до знаків виразів.
Підказка 3
Після розкриття модулів на кожному проміжку розв’яжи отримане лінійне рівняння та перевір, чи належить знайдене значення цьому проміжку.
Підказка 4
Якщо на якомусь проміжку розв’язок не підходить, відкинь його. Запиши всі корені, які задовольняють початкове рівняння.
Покрокове розв’язання
Розглянемо точки, де вирази під модулями змінюють знак: 2x - 5 = 0, звідси x = 2.5; x + 1 = 0, звідси x = -1. Отже, маємо три проміжки. 1) Якщо x < -1, то 2x - 5 < 0 і x + 1 < 0. Тоді |2x - 5| + |x + 1| = -(2x - 5) - (x + 1) = -2x + 5 - x - 1 = -3x + 4. Рівняння: -3x + 4 = 10, звідси -3x = 6, x = -2. Це число належить проміжку x < -1, отже підходить. 2) Якщо -1 ≤ x < 2.5, то 2x - 5 < 0, а x + 1 ≥ 0. Тоді |2x - 5| + |x + 1| = -(2x - 5) + (x + 1) = -2x + 5 + x + 1 = -x + 6. Рівняння: -x + 6 = 10, звідси x = -4. Але -4 не належить проміжку [-1; 2.5), тому цей розв’язок відкидаємо. 3) Якщо x ≥ 2.5, то 2x - 5 ≥ 0 і x + 1 ≥ 0. Тоді |2x - 5| + |x + 1| = (2x - 5) + (x + 1) = 3x - 4. Рівняння: 3x - 4 = 10, звідси 3x = 14, x = 14/3. Це число належить проміжку x ≥ 2.5, отже підходить. Перевіримо обидва знайдені корені: - x = -2: |2(-2) - 5| + |-2 + 1| = |-9| + |-1| = 9 + 1 = 10; - x = 14/3: |28/3 - 5| + |14/3 + 1| = |13/3| + |17/3| = 13/3 + 17/3 = 10. Відповідь: x = -2 і x = 14/3.
