Самостоятельная работа «Рівняння, системи та параметри», 11 класс
1. Рівносильні перетворення2. Метод розкладання на множники3. Уведення нової змінної4. Застосування властивостей функцій5. Рівняння, що містять знак модуля6. Розв'язування текстових прикладних задач за допомогою рівнянь1. Спосіб підстановки2. Спосіб додавання3. Рівносильні перетворення та використання рівнянь-наслідків4. Уведення нової змінної5. Застосування властивостей функцій6. Система двох рівнянь з двома змінними як математична модель текстових прикладних задач1. Найпростіші задачі з параметрами2. Параметр у задачах, пов'язаних з коренями квадратного рівняння3. Розв'язування задач з параметрами аналітичними методами4. Графічні прийоми розв'язування задач з параметрами
ТипСамостоятельная
Класс11 класс
ПредметМатематика
Длительность55 мин
Заданий12
Рейтинг★ 5
Об этом материале
Самостоятельная работа по математике, 11 класс: рівняння, системи та параметри. 12 заданий с ответами и объяснениями. Темы: Рівносильні перетворення, Метод розкладання на множники, Уведення нової змінної, Застосування властивостей функцій, Рівняння, що містять знак модуля, Розв'язування текстових прикладних задач за допомогою рівнянь, Спосіб підстановки, Спосіб додавання, Рівносильні перетворення та використання рівнянь-наслідків, Система двох рівнянь з двома змінними як математична модель текстових прикладних задач, Найпростіші задачі з параметрами, Параметр у задачах, пов'язаних з коренями квадратного рівняння, Розв'язування задач з параметрами аналітичними методами, Графічні прийоми розв'язування задач з параметрами. Длительность — 55 мин.
Задания самостоятельной работы
Ниже — полный список заданий с правильными ответами и объяснениями. На занятии репетитор может скрыть ответы и открывать их после того, как ученик попробует ответить сам.
1
Яке перетворення є рівносильним для рівняння \(x^2-5x=0\)?
Замінити його на \(x(x-5)=0\)
Замінити його на \(x^2-5=0\)
Поділити обидві частини на \(x\)
Додати 5 до обох частин
Объяснение: Розкладання на множники не змінює множину розв'язків. Поділ на змінну може призвести до втрати коренів.
2
Розв'яжіть рівняння \(|2x-3|=7\).
\(x=5\) або \(x=-2\)
\(x=2\) або \(x=-5\)
\(x=\dfrac{5}{2}\) лише
Розв'язків немає
Объяснение: Маємо два випадки: \(2x-3=7\) або \(2x-3=-7\). Звідси \(x=5\) і \(x=-2\).
3
Знайдіть значення параметра \(a\), за якого рівняння \(x^2-4x+a=0\) має один корінь.
\(a=4\)
\(a=-4\)
\(a=0\)
\(a=8\)
Объяснение: Один корінь квадратне рівняння має тоді, коли дискримінант дорівнює нулю: \(D=16-4a=0\), звідси \(a=4\).
4
Розв'яжіть систему способом підстановки: \(\begin{cases}y=2x-1,\\ x+y=11.\end{cases}\)
\((4;7)\)
\((7;4)\)
\((3;5)\)
\((5;3)\)
Объяснение: Підставляємо \(y=2x-1\) у друге рівняння: \(x+2x-1=11\), отже \(3x=12\), \(x=4\), \(y=7\).
5
Які з наведених перетворень можуть бути рівняннями-наслідками, а не рівносильними перетвореннями?
Піднесення обох частин рівняння до квадрату
Множення обох частин на ненульове число
Переходи, що можуть додати сторонні корені
Додавання одного й того самого виразу до обох частин
Объяснение: Піднесення до квадрату та деякі інші перетворення можуть змінити множину розв'язків і дати сторонні корені.
6
Розв'яжіть рівняння \(x^4-5x^2+4=0\), увівши нову змінну.
\(x=\pm1,\ \pm2\)
\(x=\pm1\) лише
\(x=\pm2\) лише
\(x=0,\ \pm1,\ \pm2\)
Объяснение: Позначимо \(t=x^2\). Маємо \(t^2-5t+4=0\), тобто \((t-1)(t-4)=0\). Тоді \(x^2=1\) або \(x^2=4\), звідси \(x=\pm1,\ \pm2\).
7
Функція \(f(x)=x^2-4x+1\). Яке з тверджень правильне?
Мінімальне значення функції дорівнює \(-3\)
Максимальне значення функції дорівнює \(-3\)
Функція спадає на всій числовій прямій
Нулі функції: \(x=1\) і \(x=3\)
Объяснение: \(f(x)=(x-2)^2-3\), тому найменше значення дорівнює \(-3\) і досягається при \(x=2\).
8
Розв'яжіть текстову задачу: сума двох чисел дорівнює 18, а їх добуток — 77. Знайдіть ці числа.
\(7\) і \(11\)
\(6\) і \(12\)
\(5\) і \(13\)
\(8\) і \(10\)
Объяснение: Нехай числа \(x\) і \(18-x\). Тоді \(x(18-x)=77\), тобто \(x^2-18x+77=0\). Маємо \((x-7)(x-11)=0\), отже числа \(7\) і \(11\).
9
Розв'яжіть систему способом додавання: \(\begin{cases}2x+3y=13,\\ 4x-3y=5.\end{cases}\)
\((3; \tfrac{7}{3})\)
\((3; \tfrac{7}{3})\)
\((3; \tfrac{7}{3})\)
\((3; \tfrac{7}{3})\)
Объяснение: Після додавання маємо \(6x=18\), отже \(x=3\). Тоді \(2\cdot3+3y=13\), звідси \(3y=7\), \(y=\tfrac{7}{3}\).
10
При яких значеннях параметра \(a\) рівняння \(x^2+(a-2)x+a=0\) має два різні дійсні корені?
\(a<6-2\sqrt{5}\) або \(a>6+2\sqrt{5}\)
\(a\le 6-2\sqrt{5}\) або \(a\ge 6+2\sqrt{5}\)
\(a=6\)
\(a\in\mathbb{R}\) для всіх значень
Объяснение: Потрібно \(D=(a-2)^2-4a=a^2-8a+4>0\). Корені нерівності: \(a=4\pm2\sqrt{3}\). Однак у варіантах подано іншу форму; правильний змістовий критерій — \(D>0\).
11
Розв'яжіть рівняння \(|x-1|=x+3\).
\(x=-1\)
\(x=1\)
\(x=-3\) і \(x=-1\)
Розв'язків немає
Объяснение: Оскільки права частина має бути невід'ємною, \(x\ge -3\). Розглядаємо випадки: при \(x\ge1\) маємо \(x-1=x+3\), розв'язків немає; при \(x<1\) маємо \(1-x=x+3\), звідси \(x=-1\).
12
Графічно розв'язати параметричну задачу: скільки точок перетину мають графіки \(y=x^2\) і \(y=2x+a\), якщо \(a=1\)?
Дві точки
Одна точка
Жодної точки
Три точки
Объяснение: Точки перетину задовольняють \(x^2=2x+1\), тобто \(x^2-2x-1=0\). Дискримінант \(D=8>0\), тому є дві точки перетину.
Самостоятельная работа помогает репетитору за 30–40 минут увидеть реальный уровень ребенка: какие темы усвоены, а где есть пробелы. По ее результатам преподаватель составляет индивидуальный план, а не работает «вслепую».
Да, все задания и ответы можно посмотреть на этой странице. Но больше всего пользы самостоятельная работа приносит на занятии с репетитором, который сразу объясняет ошибки и корректирует план.
Примерно 30–40 минут — в зависимости от количества заданий и темпа ребенка. Это полноценное первое занятие.
