Об этом материале
Задача по математике, 10 класс: вектори, скалярний добуток, площини, сфери та перетворення у просторі. Пошаговые подсказки, полное решение и ответ. Темы: Координати вектора. Дії над векторами, що задані координатами; Скалярний добуток векторів; Найпростіші геометричні місця точок у просторі. Рівняння площини і сфери; Координатний і векторний методи розв'язування задач; Перетворення у просторі. Длительность — 55 мин.
Условие задачи
Подсказки для объяснения
Открывайте подсказки постепенно — сначала дайте ребенку подумать самостоятельно.
Подсказка 1
Знайдіть координати вектора за координатами його початку і кінця, а потім обчисліть його довжину або суму/різницю векторів за координатами.
Подсказка 2
Для скалярного добутку використайте формулу через координати та, за потреби, зв’язок із кутом між векторами.
Подсказка 3
Щоб розпізнати площину або сферу, порівняйте вигляд рівняння зі стандартними формами та визначте нормаль, центр і радіус.
Подсказка 4
У задачах на перетворення у просторі уважно змініть координати відповідно до правила симетрії або паралельного перенесення.
Подсказка 5
У задачах на координатний і векторний методи зручно вводити координати точок і працювати з векторами, а потім перевіряти умову через рівність, перпендикулярність або довжину.
Пошаговое решение
1) Для вектора \overrightarrow{AB}, якщо A(1; 2; -1) і B(3; -1; 0), маємо: \overrightarrow{AB} = (3 - 1; -1 - 2; 0 - (-1)) = (2; -3; 1). 2) Для векторів \vec a(1; -2; 3) і \vec b(2; 1; 0) скалярний добуток: \vec a \cdot \vec b = 1\cdot 2 + (-2)\cdot 1 + 3\cdot 0 = 2 - 2 + 0 = 0. Отже, вектори перпендикулярні. 3) Рівняння сфери має вигляд (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2. Порівнюємо з даним рівнянням: (x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 16. Тут центр сфери O(2; -1; 3), радіус R = 4. 4) При симетрії відносно початку координат кожна координата змінює знак. Для точки A(-2; 1; -3) симетрична точка має координати: A'(2; -1; 3). 5) Знайдемо рівняння площини через точки A(1; 2; -1), B(3; 0; 2), C(4; 1; 0). Складемо два напрямні вектори: \overrightarrow{AB} = (2; -2; 3), \overrightarrow{AC} = (3; -1; 1). Знайдемо нормальний вектор як векторний добуток: \vec n = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (1; 7; 4). Тоді рівняння площини: 1(x - 1) + 7(y - 2) + 4(z + 1) = 0. Після спрощення: x + 7y + 4z - 11 = 0.
