O tym materiale
Test diagnostyczny z matematyki, Technikum, klasa 2: Liczby rzeczywiste i działania. 12 zadań z odpowiedziami i wyjaśnieniami. Tematy: Liczby rzeczywiste i działania, Wyrażenia algebraiczne, Równania i nierówności, Funkcje i ich własności, Układy równań, Geometria płaska, Trygonometria, Statystyka i prawdopodobieństwo. Czas trwania: 55 min.
Zadania diagnostyki
Poniżej pełna lista zadań z poprawnymi odpowiedziami i wyjaśnieniami. Na lekcji korepetytor może ukryć odpowiedzi i odsłaniać je po próbie ucznia.
1
Która liczba jest niewymierna?
\(\sqrt{49}\)
\(\sqrt{2}\)
\(\frac{3}{5}\)
\(-4\)
Wyjaśnienie: Liczba niewymierna nie da się zapisać w postaci ułamka zwykłego. Spośród podanych tylko \(\sqrt{2}\) ma taki charakter.
2
Uprość wyrażenie: \((2x-3)^2-(x-1)(x+1)\).
\(3x^2-12x+10\)
\(3x^2-10x+10\)
\(4x^2-12x+8\)
\(x^2-12x+10\)
Wyjaśnienie: Po rozwinięciu otrzymujemy \((2x-3)^2=4x^2-12x+9\) oraz \((x-1)(x+1)=x^2-1\). Różnica to \(4x^2-12x+9-(x^2-1)=3x^2-12x+10\).
3
Rozwiąż równanie: \(3(2x-1)=5x+7\).
\(x=10\)
\(x=-10\)
\(x=4\)
\(x=-4\)
Wyjaśnienie: Po rozpisaniu nawiasu mamy \(6x-3=5x+7\), więc \(x=10\)? Nie — po przeniesieniu składników: \(6x-5x=7+3\), stąd \(x=10\).
4
Która z podanych funkcji jest funkcją liniową?
\(f(x)=\frac{2}{x}\)
\(f(x)=3x-5\)
\(f(x)=x^2+1\)
\(f(x)=\sqrt{x}\)
Wyjaśnienie: Funkcja liniowa ma postać \(f(x)=ax+b\), gdzie \(a\) i \(b\) są liczbami rzeczywistymi. Tę postać ma \(f(x)=3x-5\).
5
Dla funkcji \(f(x)=2x-1\) oblicz \(f(3)\).
\(5\)
\(6\)
\(7\)
\(-5\)
Wyjaśnienie: Podstawiamy \(x=3\): \(f(3)=2\cdot 3-1=6-1=5\).
6
Rozwiąż układ równań: \(\begin{cases}x+y=7\\x-y=1\end{cases}\).
\(x=3,\ y=4\)
\(x=4,\ y=3\)
\(x=5,\ y=2\)
\(x=1,\ y=6\)
Wyjaśnienie: Dodajemy równania stronami: \(2x=8\), więc \(x=4\). Następnie \(4+y=7\), więc \(y=3\).
7
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 6 i 8. Ile wynosi przeciwprostokątna?
\(10\)
\(12\)
\(14\)
\(8\)
Wyjaśnienie: Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa: \(c^2=6^2+8^2=36+64=100\), więc \(c=10\).
8
Oblicz \(\sin 30^\circ\).
\(\frac{1}{2}\)
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(1\)
Wyjaśnienie: Z tablic wartości trygonometrycznych wiemy, że \(\sin 30^\circ=\frac{1}{2}\).
9
Oblicz pole koła o promieniu 3.
\(6\pi\)
\(9\pi\)
\(12\pi\)
\(18\pi\)
Wyjaśnienie: Pole koła liczymy ze wzoru \(P=\pi r^2\). Dla \(r=3\) mamy \(P=\pi\cdot 3^2=9\pi\).
10
Które z podanych zdań są prawdziwe dla dowolnego \(x\neq 0\)?
\(\frac{x^2}{x}=x\)
\((x+1)^2=x^2+1\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}=\frac{2}{x}\)
\(x^0=0\)
Wyjaśnienie: Prawdziwe są zdania a i c. W punkcie b brakuje składnika \(2x\), a w punkcie d dla \(x\neq 0\) mamy \(x^0=1\).
11
Wskaż poprawne własności funkcji liniowej \(f(x)=ax+b\), gdy \(a\neq 0\).
Wykresem jest prosta
Funkcja może mieć miejsce zerowe
Funkcja zawsze jest stała
Współczynnik \(a\) określa nachylenie prostej
Wyjaśnienie: Funkcja liniowa o \(a\neq 0\) ma wykres w postaci prostej, może mieć miejsce zerowe i współczynnik kierunkowy \(a\) opisuje jej nachylenie.
12
Wybierz wszystkie poprawne stwierdzenia dotyczące prawdopodobieństwa i statystyki.
Średnia arytmetyczna liczb 2, 4, 6 wynosi 4
Mediana zbioru 1, 3, 5, 7 wynosi 3
Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego wynosi 1
Moda to liczba występująca najrzadziej
Wyjaśnienie: Prawdziwe są a i c. Średnia z liczb 2, 4, 6 to 4, a zdarzenie pewne ma prawdopodobieństwo 1. Mediana zbioru 1, 3, 5, 7 wynosi 4, a moda to wartość najczęściej występująca.
