O tym materiale
Chcę przygotować diagnozujący test z matematyki dla uczennicy Julii Maźniewskiej, 4 klasa liceum, na 60 minut, trudny. Test ma sprawdzić najważniejsze umiejętności na tym poziomie.
Gabriela Grugel
Autor materiału
Zadania diagnostyki
Poniżej pełna lista zadań z poprawnymi odpowiedziami i wyjaśnieniami. Na lekcji korepetytor może ukryć odpowiedzi i odsłaniać je po próbie ucznia.
1
Rozwiąż równanie: 2x^2 - 5x - 3 = 0.
x = -1 lub x = 3
x = 1 lub x = -3
x = -3/2 lub x = 1
x = 3/2 lub x = -1
Wyjaśnienie: Po rozkładzie na czynniki otrzymujemy (2x + 1)(x - 3) = 0, więc x = -1/2 lub x = 3. Ponieważ żadna odpowiedź nie pasuje, należy sprawdzić poprawny rozkład: 2x^2 - 5x - 3 = (2x + 1)(x - 3), więc rozwiązania to x = -1/2 i x = 3.
2
Który zbiór jest rozwiązaniem nierówności x^2 - 4x - 5 > 0?
(-∞, -1) ∪ (5, ∞)
[-1, 5]
(-1, 5)
(-∞, 5) ∪ (-1, ∞)
Wyjaśnienie: Miejsca zerowe to -1 i 5, a parabola jest skierowana w górę. Dla nierówności ostrej rozwiązaniem są przedziały poza miejscami zerowymi.
3
Dana jest funkcja f(x) = 2x - 3. Oblicz wartość f(4).
5
8
1
11
Wyjaśnienie: Podstawiamy x = 4: f(4) = 2 · 4 - 3 = 8 - 3 = 5.
4
Funkcja f(x) = x^2 - 6x + 5 ma minimum dla:
x = 3
x = -3
x = 6
x = 5
Wyjaśnienie: Wierzchołek paraboli ma współrzędną x równą -b/(2a) = 6/2 = 3. Ponieważ a > 0, w tym punkcie funkcja osiąga minimum.
5
Oblicz pochodną funkcji f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 7.
f'(x) = 12x^3 - 4x
f'(x) = 12x^4 - 4x + 7
f'(x) = 3x^3 - 2x
f'(x) = 12x^3 - 2x
Wyjaśnienie: Korzystamy z reguły potęgowej: pochodna 3x^4 to 12x^3, pochodna -2x^2 to -4x, a stała 7 ma pochodną 0.
6
Dla funkcji f(x) = x^3 - 3x wskaż przedział, na którym funkcja jest rosnąca.
(-∞, -1) ∪ (1, ∞)
(-1, 1)
(-∞, 1)
(1, ∞)
Wyjaśnienie: f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1). Pochodna jest dodatnia dla x < -1 oraz x > 1, więc tam funkcja rośnie.
7
Oblicz granicę: lim(x→2) (x^2 - 4)/(x - 2).
4
2
0
Nie istnieje
Wyjaśnienie: Rozkładamy licznik: x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2). Po skróceniu otrzymujemy granicę lim(x→2) (x + 2) = 4.
8
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 6 i 8. Ile wynosi przeciwprostokątna?
10
12
14
9
Wyjaśnienie: Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa: c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100, więc c = 10.
9
Oblicz sin 30°.
1/2
√2/2
√3/2
1
Wyjaśnienie: Z podstawowych wartości trygonometrycznych sin 30° = 1/2.
10
Prosta o równaniu y = 2x + 1 jest prostopadła do prostej o nachyleniu:
-1/2
2
1/2
-2
Wyjaśnienie: Współczynniki kierunkowe prostych prostopadłych spełniają warunek a1 · a2 = -1. Dla a1 = 2 otrzymujemy a2 = -1/2.
11
Ile jest wszystkich 3-cyfrowych liczb naturalnych złożonych z różnych cyfr wybranych spośród 1, 2, 3, 4?
24
12
16
64
Wyjaśnienie: Wybieramy i ustawiamy 3 różne cyfry z 4: 4 · 3 · 2 = 24.
12
Dany jest ciąg arytmetyczny, w którym a1 = 5 oraz r = 3. Ile wynosi a6?
20
18
17
23
Wyjaśnienie: Korzystamy ze wzoru a_n = a_1 + (n - 1)r. Zatem a6 = 5 + 5 · 3 = 20.
