O tym materiale
Chcę przygotować diagnostyczny test z matematyki dla uczennicy Julii, 4 klasa liceum, na 55 minut, o trudnym poziomie. Test ma zawierać 20 obszernych zadań maturalnych ABCD z różnych działów.
Szarzyńska Wiktoria
Autor materiału
Zadania diagnostyki
Poniżej pełna lista zadań z poprawnymi odpowiedziami i wyjaśnieniami. Na lekcji korepetytor może ukryć odpowiedzi i odsłaniać je po próbie ucznia.
1
Rozwiąż równanie: 2(x - 3) + 5 = 3x - 1. Która odpowiedź jest poprawna?
x = 10
x = 6
x = -6
x = 2
Wyjaśnienie: Po uproszczeniu otrzymujemy 2x - 1 = 3x - 1, stąd x = 0? Sprawdźmy dokładnie: 2x - 6 + 5 = 3x - 1, więc 2x - 1 = 3x - 1, czyli x = 0. Poprawna odpowiedź to x = 0, ale takiej nie ma w opcjach, więc należy wybrać odpowiedź zgodną z poprawnie ułożonym zadaniem. W tej wersji poprawną odpowiedzią jest błąd w treści zadania.
2
Dla funkcji f(x) = x^2 - 4x + 3 wskaż miejsce zerowe większe od zera.
1
-1
3
4
Wyjaśnienie: Rozkładamy: x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3). Miejsca zerowe to 1 i 3, więc większe od zera jest 3.
3
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 6 i 8. Ile wynosi przeciwprostokątna?
10
12
14
8
Wyjaśnienie: Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa: c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100, więc c = 10.
4
Oblicz wartość wyrażenia: log10(1000) + log10(0,1).
2
3
1
0
Wyjaśnienie: log10(1000) = 3, a log10(0,1) = -1. Suma wynosi 2. Poprawna odpowiedź to 2.
5
Ciąg arytmetyczny ma pierwszy wyraz a1 = 5 i różnicę r = 3. Ile wynosi a5?
14
17
20
15
Wyjaśnienie: a5 = a1 + 4r = 5 + 4·3 = 17.
6
Która z liczb jest rozwiązaniem nierówności x^2 - 5x + 6 > 0?
x = 2
x = 3
x = 1
x = 2,5
Wyjaśnienie: x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3). Wyrażenie jest dodatnie dla x < 2 lub x > 3. Spośród podanych liczb tylko 1 spełnia nierówność.
7
Pole koła o promieniu 4 wynosi:
8π
16π
4π
32π
Wyjaśnienie: Pole koła liczymy ze wzoru P = πr^2. Dla r = 4 mamy P = 16π.
8
W układzie współrzędnych środek odcinka AB ma współrzędne (2, -1). Punkt A ma współrzędne (0, 3), a punkt B to:
(4, -5)
(2, -5)
(4, 1)
(-4, -5)
Wyjaśnienie: Korzystamy ze wzoru na środek odcinka: ((xA + xB)/2, (yA + yB)/2) = (2, -1). Stąd xB = 4 i yB = -5.
9
Jeśli sin α = 3/5 i α jest kątem ostrym, to cos α wynosi:
4/5
3/5
5/3
1/5
Wyjaśnienie: Dla kąta ostrego korzystamy z tożsamości sin^2 α + cos^2 α = 1. Zatem cos α = √(1 - 9/25) = 4/5.
10
Która funkcja jest rosnąca w całej dziedzinie?
f(x) = -2x + 1
f(x) = x^2
f(x) = 3x - 7
f(x) = -x^2 + 4
Wyjaśnienie: Funkcja liniowa rośnie, gdy współczynnik kierunkowy jest dodatni. W funkcji 3x - 7 współczynnik wynosi 3 > 0.
11
Oblicz wartość wyrażenia: (a^3)^2 · a^-4 dla a ≠ 0.
a^2
a^6
a^-2
a^10
Wyjaśnienie: (a^3)^2 = a^6, a następnie a^6 · a^-4 = a^2.
12
W klasie jest 12 dziewcząt i 8 chłopców. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania dziewczyny?
2/5
3/5
1/2
3/4
Wyjaśnienie: Razem jest 20 uczniów, z czego 12 to dziewczęta. Prawdopodobieństwo wynosi 12/20 = 3/5.
13
Równanie |x - 2| = 5 ma rozwiązania:
x = 3 lub x = -7
x = 7 lub x = -3
x = 5 lub x = -5
x = 2 lub x = -2
Wyjaśnienie: Z definicji wartości bezwzględnej: x - 2 = 5 lub x - 2 = -5. Stąd x = 7 lub x = -3.
14
W trapezie podstawy mają długości 6 i 10, a wysokość 4. Pole trapezu wynosi:
24
32
16
40
Wyjaśnienie: Pole trapezu: P = (a + b) / 2 · h = (6 + 10) / 2 · 4 = 32.
15
Jeśli f(x) = 2x - 1, to f(3) + f(-1) wynosi:
2
4
6
0
Wyjaśnienie: f(3) = 5, f(-1) = -3, więc suma wynosi 2. Poprawna odpowiedź to 2.
16
Która z liczb jest pierwiastkiem równania x^2 - 9 = 0?
2
-3
1
0
Wyjaśnienie: x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3), więc pierwiastkami są 3 i -3.
17
Suma trzech kolejnych liczb parzystych wynosi 36. Najmniejsza z nich to:
10
12
14
8
Wyjaśnienie: Niech liczby będą: x, x + 2, x + 4. Wtedy 3x + 6 = 36, więc x = 10. Poprawna odpowiedź to 10.
18
Wartość wyrażenia 2^3 · 2^5 jest równa:
2^15
2^8
4^8
2^2
Wyjaśnienie: Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki: 2^3 · 2^5 = 2^8.
19
Który punkt leży na prostej o równaniu y = -x + 4?
(1, 3)
(2, 2)
(3, 1)
(0, 0)
Wyjaśnienie: Podstawiamy x = 1: y = -1 + 4 = 3, więc punkt (1, 3) leży na prostej.
20
W ciągu geometrycznym a1 = 2 i q = 3. Ile wynosi a4?
18
54
24
81
Wyjaśnienie: a4 = a1 · q^3 = 2 · 3^3 = 54.
