O tym materiale
Test diagnostyczny z matematyki, Technikum, klasa 2: Równania i nierówności. 30 zadań z odpowiedziami i wyjaśnieniami. Tematy: Równania i nierówności, Funkcje i wykresy, Procenty, Geometria płaska, Statystyka i prawdopodobieństwo. Czas trwania: 55 min.
Zadania diagnostyki
Poniżej pełna lista zadań z poprawnymi odpowiedziami i wyjaśnieniami. Na lekcji korepetytor może ukryć odpowiedzi i odsłaniać je po próbie ucznia.
1
Rozwiąż równanie: 3x - 7 = 11.
x = 4
x = 6
x = -6
x = 18
Wyjaśnienie: Dodajemy 7 do obu stron: 3x = 18, więc x = 6.
2
Która z liczb spełnia nierówność 2x + 1 < 9?
x = 2
x = 4
x = 5
x = 6
Wyjaśnienie: Po przekształceniu nierówności mamy 2x < 8, więc x < 4. Spośród podanych liczb tylko 2 spełnia warunek.
3
Dla funkcji f(x) = 2x - 3 oblicz wartość f(5).
7
10
13
-13
Wyjaśnienie: Podstawiamy x = 5: f(5) = 2·5 - 3 = 10 - 3 = 7.
4
Cena butów wzrosła z 200 zł do 230 zł. O ile procent wzrosła cena?
10%
12%
15%
30%
Wyjaśnienie: Wzrost wynosi 30 zł. 30 zł to 15% z 200 zł, więc poprawna odpowiedź to 15%.
5
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 6 cm i 8 cm. Ile wynosi przeciwprostokątna?
10 cm
12 cm
14 cm
8 cm
Wyjaśnienie: Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa: c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, więc c = 10 cm.
6
Które z poniższych zdań są prawdziwe dla funkcji liniowej y = -x + 2?
Współczynnik kierunkowy jest ujemny.
Wykres przecina oś OY w punkcie (0, 2).
Funkcja jest rosnąca.
Miejscem zerowym jest x = 2.
Wyjaśnienie: Dla y = -x + 2 współczynnik kierunkowy wynosi -1, więc jest ujemny. Punkt przecięcia z osią OY to (0, 2). Miejsce zerowe spełnia -x + 2 = 0, więc x = 2.
7
Oblicz pole koła o promieniu 3 cm. Przyjmij π ≈ 3,14.
9,42 cm²
18,84 cm²
28,26 cm²
56,52 cm²
Wyjaśnienie: Pole koła: P = πr² = 3,14 · 3² = 3,14 · 9 = 28,26 cm².
8
W klasie jest 12 dziewcząt i 8 chłopców. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania chłopca?
2/5
3/5
1/2
8/12
Wyjaśnienie: Razem jest 20 uczniów, z czego 8 to chłopcy. Prawdopodobieństwo wynosi 8/20 = 2/5.
9
Rozwiąż układ równań: x + y = 10 oraz x - y = 2.
x = 6, y = 4
x = 4, y = 6
x = 8, y = 2
x = 5, y = 5
Wyjaśnienie: Dodajemy równania stronami: 2x = 12, więc x = 6. Następnie y = 10 - 6 = 4.
10
Które z podanych własności dotyczą funkcji kwadratowej y = x² - 4?
Wykres jest parabolą.
Funkcja ma dwa miejsca zerowe.
Wierzchołek ma współrzędne (0, -4).
Funkcja jest malejąca w całej dziedzinie.
Wyjaśnienie: Dla y = x² - 4 wykres jest parabolą. Miejsca zerowe spełniają x² - 4 = 0, więc x = -2 i x = 2. Wierzchołek ma współrzędne (0, -4). Funkcja nie jest malejąca w całej dziedzinie.
11
Rozwiąż równanie: 5x + 2 = 3x + 14.
x = 4
x = 6
x = -4
x = 12
Wyjaśnienie: Odejmujemy 3x od obu stron: 2x + 2 = 14. Następnie odejmujemy 2: 2x = 12, więc x = 6? Nie, po poprawnym przekształceniu 5x + 2 = 3x + 14 daje 2x = 12, więc x = 6.
12
Która liczba spełnia nierówność x/2 ≥ 3?
x = 4
x = 5
x = 6
x = 2
Wyjaśnienie: Mamy x/2 ≥ 3, więc x ≥ 6. Spośród podanych liczb tylko 6 spełnia nierówność.
13
Dla funkcji f(x) = -3x + 1 oblicz f(0).
1
-1
0
3
Wyjaśnienie: Podstawiamy x = 0: f(0) = -3·0 + 1 = 1.
14
Cena produktu po obniżce o 20% wynosi 160 zł. Jaka była cena przed obniżką?
180 zł
192 zł
200 zł
240 zł
Wyjaśnienie: Po obniżce o 20% zostaje 80% ceny. Zatem 160 zł to 80% ceny wyjściowej, więc cena początkowa wynosi 160 / 0,8 = 200 zł.
15
Obwód prostokąta wynosi 30 cm, a jego długość 9 cm. Ile wynosi szerokość?
6 cm
7 cm
8 cm
12 cm
Wyjaśnienie: Obwód prostokąta to 2(a + b) = 30, więc a + b = 15. Jeśli długość wynosi 9 cm, to szerokość ma 15 - 9 = 6 cm.
16
Który punkt należy do wykresu funkcji y = 2x - 1?
(1, 1)
(1, 3)
(2, 1)
(0, 2)
Wyjaśnienie: Dla x = 1 mamy y = 2·1 - 1 = 1, więc punkt (1, 1) należy do wykresu.
17
Które zdania są prawdziwe dla funkcji y = x²?
Wykres jest symetryczny względem osi OY.
Funkcja przyjmuje wartości ujemne.
Najmniejsza wartość funkcji to 0.
Funkcja ma jedno miejsce zerowe.
Wyjaśnienie: Wykres y = x² jest symetryczny względem osi OY. Funkcja nie przyjmuje wartości ujemnych, a jej najmniejsza wartość to 0. Ma jedno miejsce zerowe: x = 0.
18
Ile wynosi 15% z 80?
8
10
12
15
Wyjaśnienie: 15% z 80 to 0,15 · 80 = 12.
19
W trójkącie równoramiennym ramiona mają długość 7 cm, a podstawa 10 cm. Jaki jest obwód trójkąta?
24 cm
20 cm
14 cm
28 cm
Wyjaśnienie: Obwód to suma długości boków: 7 + 7 + 10 = 24 cm.
20
W klasie 5 uczniów otrzymało ocenę 2, 7 uczniów ocenę 3, a 8 uczniów ocenę 4. Jaka jest średnia arytmetyczna tych ocen?
3,15
3,25
3,5
3,75
Wyjaśnienie: Obliczamy średnią ważoną: (5·2 + 7·3 + 8·4) / 20 = (10 + 21 + 32) / 20 = 63 / 20 = 3,15? Nie, po poprawnym obliczeniu wynik to 3,15.
21
Rozwiąż równanie: 4(x - 2) = 2x + 6.
x = 7
x = 5
x = 8
x = 3
Wyjaśnienie: Rozwijamy nawias: 4x - 8 = 2x + 6. Przenosimy wyrazy: 2x = 14, więc x = 7.
22
Która z liczb spełnia nierówność 3x - 5 ≥ 10?
x = 4
x = 5
x = 3
x = 2
Wyjaśnienie: 3x - 5 ≥ 10, więc 3x ≥ 15 i x ≥ 5. Spośród podanych liczb tylko 5 spełnia warunek.
23
Dla funkcji f(x) = x + 4 oblicz f(-2).
2
-2
6
-6
Wyjaśnienie: Podstawiamy x = -2: f(-2) = -2 + 4 = 2.
24
Cena roweru wynosiła 1200 zł, a po podwyżce wzrosła o 10%. Ile kosztuje teraz?
1260 zł
1300 zł
1320 zł
1400 zł
Wyjaśnienie: 10% z 1200 zł to 120 zł. Nowa cena wynosi 1200 + 120 = 1320 zł? Nie, po poprawnym obliczeniu 10% z 1200 zł to 120 zł, więc cena wynosi 1320 zł.
25
W trójkącie prostokątnym jedna przyprostokątna ma 5 cm, a przeciwprostokątna 13 cm. Ile ma druga przyprostokątna?
12 cm
8 cm
10 cm
18 cm
Wyjaśnienie: Z twierdzenia Pitagorasa: b² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144, więc b = 12 cm.
26
Które z podanych informacji dotyczą wykresu funkcji y = 2x - 4?
Miejsce zerowe to x = 2.
Wykres przecina oś OY w punkcie (0, -4).
Funkcja jest malejąca.
Współczynnik kierunkowy wynosi 2.
Wyjaśnienie: Dla y = 2x - 4 współczynnik kierunkowy wynosi 2, więc funkcja jest rosnąca. Miejsce zerowe spełnia 2x - 4 = 0, więc x = 2. Punkt przecięcia z osią OY to (0, -4).
27
Oblicz pole prostokąta o bokach 8 cm i 5 cm.
13 cm²
20 cm²
40 cm²
26 cm²
Wyjaśnienie: Pole prostokąta to a · b = 8 · 5 = 40 cm².
28
W woreczku są 3 czerwone, 4 niebieskie i 5 zielonych kulek. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kulki niebieskiej?
1/3
1/4
4/12
5/12
Wyjaśnienie: Razem jest 12 kulek, a niebieskich 4. Prawdopodobieństwo wynosi 4/12 = 1/3.
29
Rozwiąż równanie: x/3 + 2 = 5.
x = 6
x = 9
x = 12
x = 15
Wyjaśnienie: Odejmujemy 2: x/3 = 3. Mnożymy przez 3: x = 9.
30
Średnia arytmetyczna liczb 4, 6, 8 i 10 wynosi:
6
7
8
9
Wyjaśnienie: Suma liczb to 28, a 28 / 4 = 7.
