O tym materiale
Chcę przygotować diagnostyczny test z matematyki dla ucznia Antka Podkowy, 2 klasa liceum, na 70 minut, trudny. To ma być egzamin poprawkowy na poziomie podstawowym. Test ma obejmować funkcję liniową, funkcję kwadratową i wielomiany, zgodnie z podanym zakresem. Przygotuj proszę przynajmniej 20 pytań.
Borys Szajewski
Autor materiału
Zadania diagnostyki
Poniżej pełna lista zadań z poprawnymi odpowiedziami i wyjaśnieniami. Na lekcji korepetytor może ukryć odpowiedzi i odsłaniać je po próbie ucznia.
1
Która z podanych funkcji liniowych jest rosnąca?
y = -3x + 1
y = 0,5x - 4
y = -x + 7
y = 0
Wyjaśnienie: Funkcja liniowa jest rosnąca wtedy i tylko wtedy, gdy współczynnik kierunkowy jest dodatni.
2
Dla funkcji y = -2x + 5 wskaż punkt przecięcia wykresu z osią OY.
(0, 5)
(5, 0)
(-2, 5)
(0, -2)
Wyjaśnienie: Punkt przecięcia z osią OY ma zawsze współrzędną x równą 0, więc y = 5.
3
Prosta równoległa do prostej y = 3x - 1 ma postać:
y = 3x + 4
y = -3x + 4
y = x + 4
y = 3x^2 + 4
Wyjaśnienie: Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy.
4
Prosta prostopadła do prostej y = 2x + 3 ma współczynnik kierunkowy równy:
2
-2
1/2
-1/2
Wyjaśnienie: Dla prostych prostopadłych iloczyn współczynników kierunkowych wynosi -1.
5
Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty A(0, 2) i B(2, 6).
y = 2x + 2
y = 4x + 2
y = x + 2
y = 2x - 2
Wyjaśnienie: Współczynnik kierunkowy wynosi (6-2)/(2-0)=2, a wyraz wolny to 2.
6
Czy punkt P(1, 4) należy do prostej y = 3x + 1?
Tak
Nie
Wyjaśnienie: Po podstawieniu x = 1 otrzymujemy y = 3·1 + 1 = 4, więc punkt należy do prostej.
7
Punkty A(1, 2), B(3, 6) i C(5, 10) są:
współliniowe
nie są współliniowe
leżą na okręgu
tworzą trójkąt prostokątny
Wyjaśnienie: Nachylenie między kolejnymi parami punktów jest takie samo, więc punkty są współliniowe.
8
Rozwiąż układ równań: x + y = 7, x - y = 1.
x = 4, y = 3
x = 3, y = 4
x = 6, y = 1
x = 1, y = 6
Wyjaśnienie: Dodając równania, otrzymujemy 2x = 8, więc x = 4, a następnie y = 3.
9
Na podstawie wykresu funkcji kwadratowej wiadomo, że wierzchołek ma współrzędne (2, -1), a parabola jest skierowana ramionami do góry. Jaka jest najmniejsza wartość funkcji?
2
-1
1
0
Wyjaśnienie: Dla paraboli skierowanej ramionami do góry najmniejsza wartość jest równa współrzędnej y wierzchołka.
10
Funkcja kwadratowa ma postać iloczynową f(x) = (x - 1)(x + 5). Jej miejsca zerowe to:
1 i 5
-1 i -5
1 i -5
-1 i 5
Wyjaśnienie: Miejsca zerowe odczytujemy z warunków x - 1 = 0 oraz x + 5 = 0.
11
Dla funkcji f(x) = -(x - 2)^2 + 4 wartość maksymalna wynosi:
-4
0
4
2
Wyjaśnienie: Postać kanoniczna pokazuje, że wierzchołek ma współrzędną y równą 4, a parabola jest skierowana w dół.
12
Rozwiąż równanie kwadratowe x^2 - 9 = 0.
x = 9
x = -9
x = 3 lub x = -3
x = 0
Wyjaśnienie: Korzystamy z różnicy kwadratów: x^2 = 9, więc x = ±3.
13
Rozwiąż nierówność x^2 - 4x < 0.
x ∈ (-∞, 0) ∪ (4, ∞)
x ∈ (0, 4)
x ∈ (-4, 4)
x ∈ (-∞, 0) ∪ [4, ∞)
Wyjaśnienie: Po wyłączeniu przed nawias mamy x(x - 4) < 0, więc iloczyn jest ujemny między miejscami zerowymi.
14
Wielomian W(x) = 3x^4 - 2x^2 + 7 ma stopień:
2
3
4
7
Wyjaśnienie: Stopień wielomianu to największa potęga zmiennej o niezerowym współczynniku.
15
Wielomian W(x) = 5x^3 - x + 2 ma współczynnik przy x^3 równy:
5
-1
2
3
Wyjaśnienie: Współczynnik przy x^3 jest równy 5.
16
Oblicz sumę wielomianów (2x^2 - 3x + 1) + (x^2 + 5x - 4).
3x^2 + 2x - 3
3x^2 - 8x - 3
x^2 + 2x - 3
3x^2 + 8x + 5
Wyjaśnienie: Dodajemy wyrazy podobne: 2x^2 + x^2 = 3x^2, -3x + 5x = 2x, 1 - 4 = -3.
17
Oblicz iloczyn (x - 2)(x + 3).
x^2 + x - 6
x^2 - x - 6
x^2 + 5x - 6
x^2 + x + 6
Wyjaśnienie: Stosujemy rozdzielność: x^2 + 3x - 2x - 6 = x^2 + x - 6.
18
Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia, oblicz (a - 4)^2.
a^2 - 8a + 16
a^2 - 16
a^2 + 8a + 16
a^2 - 4a + 16
Wyjaśnienie: Korzystamy ze wzoru (u - v)^2 = u^2 - 2uv + v^2.
19
Oblicz wartość wielomianu W(x) = x^3 - 2x^2 + x - 1 dla x = 2.
1
0
2
3
Wyjaśnienie: W(2) = 8 - 8 + 2 - 1 = 1.
20
Rozwiąż równanie wielomianowe x^3 - x = 0.
x = 0, x = 1
x = -1, x = 0, x = 1
x = 0, x = 1, x = 2
x = -1, x = 1
Wyjaśnienie: Wyłączamy x przed nawias: x(x^2 - 1) = x(x - 1)(x + 1) = 0.
21
Które równanie opisuje prostą prostopadłą do y = -1/3 x + 2 i przechodzącą przez punkt (0, 5)?
y = -3x + 5
y = 3x + 5
y = 1/3 x + 5
y = -1/3 x + 5
Wyjaśnienie: Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej to 3, a punkt (0, 5) daje wyraz wolny 5.
22
Dla funkcji kwadratowej f(x) = (x - 1)^2 - 9 miejsca zerowe to:
x = 1 i x = 9
x = -2 i x = 4
x = -1 i x = 9
x = 2 i x = -4
Wyjaśnienie: Rozwiązujemy (x - 1)^2 = 9, więc x - 1 = ±3, stąd x = 4 lub x = -2.
23
Który z podanych wielomianów ma najwyższy stopień?
2x^2 - 1
x^5 + 3x
4x^3 - x^2 + 7
x - 9
Wyjaśnienie: Najwyższy stopień ma wielomian z największą potęgą zmiennej, czyli 3.
24
Rozwiąż układ równań: 2x + y = 8, x - y = 1.
x = 3, y = 2
x = 2, y = 3
x = 4, y = 0
x = 1, y = 6
Wyjaśnienie: Z drugiego równania y = x - 1. Po podstawieniu do pierwszego: 2x + x - 1 = 8, więc x = 3 i y = 2.
