O tym materiale
Test diagnostyczny z matematyki, Liceum, klasa 2: Równania i nierówności. 10 zadań z odpowiedziami i wyjaśnieniami. Tematy: Równania i nierówności, Funkcje i ich własności, Wzory skróconego mnożenia, Geometria analityczna, Trygonometria w trójkącie prostokątnym, Ciągi liczbowe. Czas trwania: 55 min.
Zadania diagnostyki
Poniżej pełna lista zadań z poprawnymi odpowiedziami i wyjaśnieniami. Na lekcji korepetytor może ukryć odpowiedzi i odsłaniać je po próbie ucznia.
1
Rozwiąż równanie: 2(x - 3) + 5 = 3x - 4.
x = 3
x = 5
x = -5
x = 1
Wyjaśnienie: Po uproszczeniu otrzymujemy 2x - 1 = 3x - 4, więc x = 3? Sprawdźmy: 2x - 6 + 5 = 3x - 4, czyli 2x - 1 = 3x - 4, stąd x = 3. Poprawna odpowiedź to x = 3.
2
Dla funkcji f(x) = 2x - 7 oblicz wartość f(4).
1
0
1
15
Wyjaśnienie: Podstawiamy x = 4: f(4) = 2 · 4 - 7 = 8 - 7 = 1.
3
Które wyrażenie jest równe (x - 4)²?
x² - 8x + 16
x² - 16
x² - 4x + 16
x² + 8x + 16
Wyjaśnienie: Korzystamy ze wzoru (a - b)² = a² - 2ab + b². Dla a = x i b = 4 mamy x² - 8x + 16.
4
Rozwiąż nierówność: 3x - 2 > 10.
x > 4
x > 2
x < 4
x < 2
Wyjaśnienie: Dodajemy 2 do obu stron: 3x > 12, a następnie dzielimy przez 3: x > 4.
5
Dana jest funkcja kwadratowa f(x) = x² - 6x + 5. Który z poniższych zapisów jest jej postacią kanoniczną?
(x - 3)² - 4
(x + 3)² - 4
(x - 3)² + 4
(x - 2)² + 1
Wyjaśnienie: Uzupełniamy do kwadratu: x² - 6x + 5 = (x² - 6x + 9) - 9 + 5 = (x - 3)² - 4.
6
Oblicz długość przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym, jeśli przyprostokątne mają długości 6 i 8.
10
12
14
9
Wyjaśnienie: Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa: c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, więc c = 10.
7
W ciągu arytmetycznym a1 = 3 oraz r = 4. Ile wynosi a5?
15
19
17
23
Wyjaśnienie: Korzystamy ze wzoru an = a1 + (n - 1)r. Zatem a5 = 3 + 4 · 4 = 19? Sprawdźmy: 3 + 16 = 19. Poprawna odpowiedź to 19.
8
Punkt A = (2, -1) i punkt B = (6, 3). Jaka jest długość odcinka AB?
4
16
32
4√2
Wyjaśnienie: Stosujemy wzór na odległość punktów: AB = √((6 - 2)² + (3 - (-1))²) = √(16 + 16) = √32 = 4√2. Z podanych odpowiedzi żadna nie pasuje, więc poprawny wynik to 4√2.
9
Która z liczb jest rozwiązaniem równania x² - 5x + 6 = 0?
x = -3
x = 2
x = -1
x = 0
Wyjaśnienie: Rozkładamy na czynniki: x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3). Rozwiązania to x = 2 i x = 3, więc żadna z podanych odpowiedzi nie jest poprawna. Jeśli wybieramy jedną z opcji, zadanie wymagałoby korekty.
10
Które z poniższych zdań są prawdziwe dla funkcji f(x) = -2x + 1?
Funkcja jest malejąca.
Miejsce zerowe tej funkcji to x = 1/2.
Wykres przecina oś OY w punkcie (0, 1).
Funkcja ma dodatni współczynnik kierunkowy.
Wyjaśnienie: Współczynnik kierunkowy wynosi -2, więc funkcja jest malejąca. Miejsce zerowe spełnia -2x + 1 = 0, stąd x = 1/2. Dla x = 0 mamy f(0) = 1, więc wykres przecina oś OY w punkcie (0, 1).
