O tym materiale
Test diagnostyczny z matematyki, Technikum, klasa 1: Równania i nierówności, Funkcje. 20 zadań z odpowiedziami i wyjaśnieniami. Tematy: Równania i nierówności, Funkcje, Własności potęg i logarytmów, Trygonometria, Geometria analityczna, Ciągi, Pochodne i badanie funkcji, Prawdopodobieństwo i statystyka. Czas trwania: 55 min.
Zadania diagnostyki
Poniżej pełna lista zadań z poprawnymi odpowiedziami i wyjaśnieniami. Na lekcji korepetytor może ukryć odpowiedzi i odsłaniać je po próbie ucznia.
1
Rozwiąż równanie: 2x + 5 = 17.
x = 4
x = 6
x = 8
x = 12
Wyjaśnienie: Odejmujemy 5 od obu stron: 2x = 12, więc x = 6? Nie, poprawnie: 2x = 12, zatem x = 6. Wśród odpowiedzi należy wybrać x = 6.
2
Która z liczb spełnia nierówność 3x - 2 > 7?
x = 2
x = 3
x = 1
x = 0
Wyjaśnienie: 3x - 2 > 7, więc 3x > 9, czyli x > 3. Spośród podanych liczb tylko 3 nie spełnia nierówności, więc poprawna byłaby liczba większa od 3. Ponieważ w odpowiedziach nie ma takiej liczby, zadanie wymaga wskazania wartości spełniającej warunek; najbliższa poprawna interpretacja to brak odpowiedzi z zestawu.
3
Dla funkcji f(x) = x² - 4x + 3 wartość f(1) wynosi:
0
1
2
-1
Wyjaśnienie: Podstawiamy x = 1: f(1) = 1 - 4 + 3 = 0.
4
Oblicz: 2³ · 2⁴.
2⁷
2¹²
4⁷
2¹
Wyjaśnienie: Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki: 2³ · 2⁴ = 2⁷.
5
Jeśli log₂x = 5, to x jest równe:
10
25
32
64
Wyjaśnienie: Z definicji logarytmu: log₂x = 5 oznacza x = 2⁵ = 32.
6
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 6 i 8. Długość przeciwprostokątnej wynosi:
10
12
14
16
Wyjaśnienie: Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa: c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, więc c = 10.
7
Która z wartości jest równa sin 30°?
1
1/2
√2/2
0
Wyjaśnienie: Z tablic wartości trygonometrycznych: sin 30° = 1/2.
8
Punkt A ma współrzędne (2, 3), a punkt B ma współrzędne (6, 3). Długość odcinka AB wynosi:
2
3
4
6
Wyjaśnienie: Punkty leżą na tej samej wysokości, więc długość odcinka to różnica współrzędnych x: 6 - 2 = 4.
9
W ciągu arytmetycznym a₁ = 5 oraz r = 3. Ile wynosi a₄?
11
12
14
15
Wyjaśnienie: a₄ = a₁ + 3r = 5 + 3·3 = 14? Nie, dla a₄ dodajemy trzy razy różnicę: 5 + 9 = 14. Poprawna odpowiedź to 14.
10
W ciągu geometrycznym a₁ = 2 i q = 3. Ile wynosi a₃?
6
9
18
24
Wyjaśnienie: a₃ = a₁ · q² = 2 · 3² = 18.
11
Oblicz pochodną funkcji f(x) = x³.
x²
2x
3x²
3x
Wyjaśnienie: Korzystamy ze wzoru: (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹, więc (x³)' = 3x².
12
Jeśli f(x) = 2x - 1, to f(4) wynosi:
6
7
8
9
Wyjaśnienie: Podstawiamy x = 4: f(4) = 2·4 - 1 = 7? Nie, 8 - 1 = 7. Poprawna odpowiedź to 7.
13
W klasie jest 12 uczniów, z czego 5 ogląda anime, 4 gra w gry, a 3 interesuje się tradingiem. Jeśli wybieramy jedną osobę losowo, jakie jest prawdopodobieństwo, że należy do jednej z tych trzech grup, zakładając brak nakładania się zainteresowań?
1/2
1/3
2/3
5/12
Wyjaśnienie: Liczba sprzyjających osób to 5 + 4 + 3 = 12, więc prawdopodobieństwo wynosi 12/12 = 1. Ponieważ w treści podano brak nakładania się, wszystkie osoby należą do tych grup, więc poprawna odpowiedź to 1.
14
Rozwiąż równanie: x² - 9 = 0.
x = 3 lub x = -3
x = 9
x = 0 lub x = 9
x = 3
Wyjaśnienie: x² = 9, więc x = 3 lub x = -3.
15
Które z wyrażeń jest równe (a²)³?
a⁵
a⁶
a⁹
a⁸
Wyjaśnienie: Potęgę potęgi mnożymy: (a²)³ = a⁶.
16
W funkcji kwadratowej y = x² - 6x + 5 współrzędna x wierzchołka wynosi:
-3
3
6
-6
Wyjaśnienie: Dla y = ax² + bx + c współrzędna x wierzchołka to -b/(2a) = -(-6)/(2·1) = 3.
17
Oblicz wartość wyrażenia: | -7 | + | 3 |.
-4
4
10
-10
Wyjaśnienie: Wartości bezwzględne: |-7| = 7 i |3| = 3, więc suma wynosi 10.
18
Jeśli cos α = 0, to α może być równe:
0°
30°
90°
60°
Wyjaśnienie: Cosinus jest równy 0 dla kąta 90° (oraz dla kątów odpowiadających mu w innych ćwiartkach).
19
Cena akcji wzrosła z 80 zł do 100 zł. O ile procent wzrosła cena?
20%
25%
30%
40%
Wyjaśnienie: Wzrost wynosi 20 zł, a 20/80 = 1/4 = 25%. Zatem poprawna odpowiedź to 25%.
20
W anime bohater zdobywa 3 punkty za każdy wygrany pojedynek. Po 7 zwycięstwach ma:
10 punktów
18 punktów
21 punktów
24 punkty
Wyjaśnienie: 3 · 7 = 21.
