Медіана трикутника – це відрізок, що з’єднує вершину трикутника з серединою протилежної сторони. У кожному трикутнику є три медіани, і вони мають важливі геометричні властивості та застосування. Медіани грають ключову роль у визначенні центру мас або центроїда трикутника, що використовується у різних галузях науки та техніки.
Медіани важливі не лише для теоретичної геометрії, а й для розв’язання задач на площу, симетрію та визначення пропорцій між елементами трикутника.
Властивості медіани трикутника
Загальні властивості
- Центр мас (центроїд): Три медіани трикутника перетинаються в одній точці, яка називається центроїдом. Центроїд ділить кожну медіану у відношенні 2:1, тобто відстань від вершини до центроїда вдвічі більша за відстань від центроїда до середини протилежної сторони.
- Поділ трикутника на рівновеликі частини: Медіана поділяє трикутник на два трикутники, площі яких рівні.
- Завжди всередині трикутника: Незалежно від форми трикутника, медіана завжди проходить всередині нього.
- Довжина медіани: Довжина медіани може бути обчислена за допомогою спеціальної формули, яка базується на довжинах сторін трикутника (формула медіани, наведена нижче).
Медіани в рівносторонньому трикутнику
- Всі медіани рівні між собою: Оскільки всі сторони рівностороннього трикутника однакові, всі три медіани також мають однакову довжину.
- Медіана є також висотою та бісектрисою: Кожна медіана в рівносторонньому трикутнику одночасно є висотою (перпендикулярною до протилежної сторони) і бісектрисою (ділить кут навпіл).
Медіани в рівнобедреному трикутнику
- Медіана до основи трикутника є висотою та бісектрисою: У рівнобедреному трикутнику медіана, що виходить із вершини до основи (базової сторони), також є висотою (перпендикуляром) і бісектрисою (ділить кут навпіл).
Медіани в прямокутному трикутнику
- Медіана до гіпотенузи: Медіана, що виходить із прямого кута до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи. Це тому, що медіана до гіпотенузи є радіусом описаного кола, а гіпотенуза є діаметром цього кола.
Медіани в довільному трикутнику
- Три медіани перетинаються в центроїді: У будь-якому трикутнику три медіани перетинаються в одній точці — центроїді, який ділить кожну медіану у відношенні 2:1 (від вершини до центроїда — 2/3 довжини медіани, а від центроїда до середини протилежної сторони — 1/3).
- Медіани поділяють трикутник на шість рівновеликих частин: Якщо провести всі три медіани в трикутнику, трикутник буде поділений на шість трикутників, площі яких рівні між собою.
Формули, пов’язані з медіаною трикутника
Формула для знаходження довжини медіани: Якщо трикутник має сторони довжиною a, b, і c, то довжина медіани m(a), що виходить із вершини до сторони a, обчислюється за формулою:
\[m_a=\frac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}\]Ця формула дозволяє знайти довжину медіани, використовуючи лише довжини сторін трикутника.
Приклад задачі на знаходження медіани
Задача: В трикутнику зі сторонами a = 7 см, b = 9 см та c = 11 см знайти довжину медіани, що виходить із вершини проти сторони a.
Розв’язок: Використовуємо формулу для знаходження довжини медіани m(a):
\[m_a=\frac12\sqrt{2{(9)}^2+2{(7)}^2-11^2}\] \[m_a=\frac12\sqrt{2(81)+2(121)-49}\] \[m_a=\frac12\sqrt{355}\] \[m_a\approx\frac12\cdot18,84=9,42\;см\]Отже, довжина медіани mam_ama становить приблизно 9.42 см.
Висновок
Медіана трикутника — це важливий елемент геометрії, що має унікальні властивості та пов’язаний із ключовими точками трикутника, такими як центроїд. Вона допомагає зрозуміти симетрію трикутника, а також використовується для розв’язання багатьох задач, пов’язаних із трикутниками.
