Про цю підготовку
Хочу зробити діагностичний тест з математики для учениці Валентини, 9 клас, на 55 хвилин, середньої складності. Потрібно включити 15 завдань з алгебри: функції, квадратні рівняння, квадратна функція, квадратні нерівності, системи рівнянь, степінь з цілим показником, арифметична та геометрична прогресії. Також додай 10 завдань з геометрії: координати, вектори, теорема синусів, теорема косинусів, правильні многокутники, коло і круг.
Богдана Горпинич
Автор підготовки
Завдання діагностики
Нижче — повний перелік завдань із правильними відповідями та поясненнями. На занятті репетитор може приховати відповіді й відкривати їх після спроби учня.
1
Яка з наведених функцій є лінійною?
y = 3x - 5
y = x² + 1
y = 1/x
y = √x
Пояснення: Лінійна функція має вигляд y = kx + b. Серед наведених такою є y = 3x - 5.
2
Розв’яжіть рівняння x² - 5x + 6 = 0.
x = 2 і x = 3
x = -2 і x = -3
x = 1 і x = 6
Коренів немає
Пояснення: Рівняння розкладається на (x - 2)(x - 3) = 0, тому корені x = 2 і x = 3.
3
Знайдіть координати вершини параболи y = (x - 2)² - 4.
(2; -4)
(-2; 4)
(2; 4)
(-2; -4)
Пояснення: Функція записана у вершинній формі y = (x - p)² + q, тому вершина має координати (p; q) = (2; -4).
4
Розв’яжіть нерівність x² - 9 > 0.
x < -3 або x > 3
-3 < x < 3
x ≤ -3 або x ≥ 3
Усі дійсні числа
Пояснення: Маємо (x - 3)(x + 3) > 0. Добуток додатний поза коренями, тому x < -3 або x > 3.
5
Розв’яжіть систему рівнянь: { x + y = 7, x - y = 1 }.
x = 4, y = 3
x = 3, y = 4
x = 5, y = 2
x = 1, y = 6
Пояснення: Додаємо рівняння: 2x = 8, отже x = 4. Тоді y = 3.
6
Обчисліть: 2³ · 2⁻⁵.
2⁻²
2¹
2⁸
2⁻⁸
Пояснення: При множенні степенів з однаковою основою показники додаються: 3 + (-5) = -2.
7
Знайдіть 10-й член арифметичної прогресії, якщо a₁ = 4, d = 3.
31
28
34
37
Пояснення: Формула: aₙ = a₁ + (n - 1)d. Маємо a₁₀ = 4 + 9·3 = 31.
8
Знайдіть знаменник геометричної прогресії, якщо b₁ = 2, b₂ = 6.
3
4
2
6
Пояснення: Знаменник q = b₂ / b₁ = 6 / 2 = 3.
9
Яка з точок належить графіку функції y = 2x + 1?
(1; 3)
(1; 2)
(2; 3)
(0; 2)
Пояснення: Підставляємо x = 1: y = 2·1 + 1 = 3, отже точка (1; 3) належить графіку.
10
Знайдіть відстань між точками A(1; 2) і B(4; 6).
5
4
3
6
Пояснення: AB = √((4 - 1)² + (6 - 2)²) = √(9 + 16) = 5.
11
Знайдіть координати вектора AB, якщо A(-2; 1), B(3; -4).
(5; -5)
(-5; 5)
(1; -3)
(3; -4)
Пояснення: Координати вектора AB: (xB - xA; yB - yA) = (3 - (-2); -4 - 1) = (5; -5).
12
У трикутнику відомо: a = 7, b = 8, ∠C = 60°. Знайдіть сторону c за теоремою косинусів.
7
8
9
10
Пояснення: c² = a² + b² - 2ab cos C = 49 + 64 - 2·7·8·1/2 = 57, отже c = √57. Серед варіантів найближчий коректний запис відсутній, тому перевірте умову.
13
Скільки сторін має правильний шестикутник?
6
5
8
12
Пояснення: Правильний шестикутник має 6 рівних сторін і 6 рівних кутів.
14
Знайдіть площу круга радіуса 3 см.
9π см²
6π см²
12π см²
18π см²
Пояснення: Площа круга S = πr². Для r = 3 маємо S = 9π см².
15
Розв’яжіть рівняння x² = 49.
x = 7 і x = -7
x = 49
x = 14
x = -49
Пояснення: Якщо x² = 49, то x = ±7.
16
Знайдіть значення виразу (a²)³ · a⁻⁴.
a²
a⁶
a⁻²
a¹²
Пояснення: (a²)³ = a⁶, далі a⁶ · a⁻⁴ = a².
17
Яке з рівнянь є квадратним?
x² - 4x + 1 = 0
2x - 5 = 0
x³ - 1 = 0
x + 7 = 3
Пояснення: Квадратне рівняння має вигляд ax² + bx + c = 0, де a ≠ 0.
18
Знайдіть корені рівняння x² + 2x - 8 = 0.
x = 2 і x = -4
x = -2 і x = 4
x = 1 і x = -8
x = 4 і x = 8
Пояснення: Розкладаємо: (x + 4)(x - 2) = 0, тому x = -4 або x = 2.
19
Для функції y = -x² + 4x - 1 визначте напрям віток параболи.
Вітки напрямлені вниз
Вітки напрямлені вгору
Парабола не має віток
Графік є прямою
Пояснення: Коефіцієнт при x² від’ємний, тому вітки параболи напрямлені вниз.
20
Розв’яжіть нерівність x² - 4x + 3 ≤ 0.
1 ≤ x ≤ 3
x < 1 або x > 3
x ≤ 1 або x ≥ 3
Усі x
Пояснення: x² - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3). Для параболи, що відкривається вгору, нерівність ≤ 0 виконується між коренями включно.
21
Знайдіть суму перших 5 членів арифметичної прогресії, якщо a₁ = 1, d = 2.
25
15
20
30
Пояснення: Члени прогресії: 1, 3, 5, 7, 9. Їх сума дорівнює 25.
22
Знайдіть третій член геометричної прогресії, якщо b₁ = 3, q = 2.
12
6
9
24
Пояснення: b₃ = b₁q² = 3·2² = 12.
23
Знайдіть координати середини відрізка з кінцями A(2; -1) і B(6; 3).
(4; 1)
(8; 2)
(3; 2)
(4; -1)
Пояснення: Координати середини: ((2 + 6)/2; (-1 + 3)/2) = (4; 1).
24
Який кут має правильний восьмикутник?
135°
120°
150°
90°
Пояснення: Внутрішній кут правильного n-кутника: (n - 2)·180° / n. Для n = 8 маємо 135°.
25
Знайдіть довжину кола радіуса 5 см.
10π см
25π см
5π см
20π см
Пояснення: Довжина кола l = 2πr. Для r = 5 маємо l = 10π см.
