Про цю підготовку
Хочу зробити невеликий тест з математики для учня Андрія Біленького, 10 клас, на 20 хвилин, середньої складності. Потрібно охопити тему «Раціональні рівняння» та «Рівносильні рівняння».
Тетяна Ковальська
Автор підготовки
Завдання діагностики
Нижче — повний перелік завдань із правильними відповідями та поясненнями. На занятті репетитор може приховати відповіді й відкривати їх після спроби учня.
1
Яке з наведених рівнянь є раціональним?
x^2 - 5x + 6 = 0
\frac{x+1}{x-2} = 3
\sqrt{x+1} = 4
|x-3| = 2
Пояснення: Раціональне рівняння містить алгебраїчні дроби, тобто змінну в знаменнику. У варіанті \frac{x+1}{x-2} = 3 є змінна в знаменнику, тому це раціональне рівняння.
2
Знайдіть область допустимих значень рівняння \frac{2}{x-5} = 1.
x \neq 0
x \neq 5
x \neq 2
x \in \mathbb{R}
Пояснення: Знаменник не може дорівнювати нулю, тому x - 5 \neq 0, звідси x \neq 5.
3
Яке рівняння є рівносильним до рівняння x - 4 = 7?
x = 3
x = 11
x - 4 = -7
2x - 8 = 14
Пояснення: Рівносильне рівняння має той самий розв’язок. Із x - 4 = 7 маємо x = 11, отже рівносильним є x = 11. Але серед варіантів потрібно вибрати саме рівняння з тим самим розв’язком; тут це x = 11.
4
Розв’яжіть рівняння \frac{x}{3} = 5.
x = 8
x = 15
x = 2
x = -15
Пояснення: Помножимо обидві частини на 3: x = 15.
5
Яке перетворення НЕ завжди зберігає рівносильність рівняння?
Додавання одного й того самого числа до обох частин
Множення обох частин на одне й те саме ненульове число
Піднесення обох частин до квадрата
Віднімання одного й того самого виразу від обох частин
Пояснення: Піднесення до квадрата може додати сторонні корені, тому не завжди зберігає рівносильність.
6
Розв’яжіть рівняння \frac{x-1}{x+2} = 0.
x = 1
x = -2
x = 0
x = 2
Пояснення: Дріб дорівнює нулю тоді й лише тоді, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю. Маємо x - 1 = 0, отже x = 1. Перевірка: 1 + 2 \neq 0.
7
Яке з рівнянь є рівносильним до рівняння \frac{x}{x-1} = 2 після перенесення всіх доданків в одну частину?
x = 2x - 2
x = 2(x-1)
x(x-1) = 2
x - 1 = 2
Пояснення: Після множення на x - 1 (за умови x \neq 1) маємо x = 2(x - 1). Розкриваючи дужки, дістаємо x = 2x - 2.
8
Розв’яжіть рівняння \frac{3}{x} = \frac{1}{2}.
x = 6
x = \frac{2}{3}
x = 1
x = -6
Пояснення: Перемножимо навхрест: 3 \cdot 2 = x \cdot 1, отже x = 6. Значення x = 0 не підходить, але воно й не є розв’язком.
9
Скільки розв’язків має рівняння \frac{x^2 - 9}{x - 3} = 0?
Жодного
Один
Два
Три
Пояснення: Дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю. x^2 - 9 = 0 дає x = 3 або x = -3. Але x = 3 не підходить, бо x - 3 = 0. Отже, лишається один розв’язок: x = -3.
10
Яке з наведених рівнянь є рівносильним до рівняння x + 2 = 5?
x + 4 = 7
2x + 4 = 10
x - 2 = 5
x + 2 = 10
Пояснення: Рівняння x + 4 = 7 має той самий розв’язок x = 3, що й x + 2 = 5, тому вони рівносильні.
