Об этом материале
Задача по математике, 8 класс: складне завдання. Пошаговые подсказки, полное решение и ответ. Темы: Додавання і віднімання раціональних дробів. Длительность — 55 мин.
Условие задачи
Подсказки для объяснения
Открывайте подсказки постепенно — сначала дайте ребенку подумать самостоятельно.
Подсказка 1
Розкладіть знаменник \(x^2-9\) на множники: \((x-3)(x+3)\).
Подсказка 2
Зведіть усі дроби до спільного знаменника \((x-3)(x+3)\).
Подсказка 3
Об’єднайте чисельники, уважно стежачи за знаками при відніманні.
Подсказка 4
Після спрощення підставте \(x=5\) і обчисліть значення.
Подсказка 5
Знайдіть ОДЗ: знаменники не можуть дорівнювати нулю.
Пошаговое решение
Розв’яжемо поетапно. 1) Маємо вираз: \[ \frac{2x}{x^2-9}+\frac{3}{x-3}-\frac{1}{x+3}. \] Оскільки \[ x^2-9=(x-3)(x+3), \] то спільний знаменник для всіх дробів — \((x-3)(x+3)\). 2) Зведемо дроби до спільного знаменника: \[ \frac{2x}{(x-3)(x+3)}+\frac{3(x+3)}{(x-3)(x+3)}-\frac{x-3}{(x-3)(x+3)}. \] 3) Об’єднаємо чисельники: \[ \frac{2x+3(x+3)-(x-3)}{(x-3)(x+3)}. \] Розкриємо дужки: \[ 2x+3x+9-x+3=4x+12. \] Отже, \[ \frac{4x+12}{(x-3)(x+3)}. \] Винесемо 4 за дужки: \[ \frac{4(x+3)}{(x-3)(x+3)}. \] Скорочуємо на \(x+3\) (це можна робити лише якщо \(x\neq -3\)): \[ \frac{4}{x-3}. \] 4) Знайдемо ОДЗ. У початковому виразі знаменники не можуть дорівнювати нулю: \[ x^2-9\neq 0,\quad x-3\neq 0,\quad x+3\neq 0. \] Тому \[ x\neq 3,\quad x\neq -3. \] 5) Обчислимо значення при \(x=5\): \[ \frac{4}{5-3}=\frac{4}{2}=2. \] Отже, спрощений вираз — \(\frac{4}{x-3}\), ОДЗ: \(x\neq \pm 3\), а при \(x=5\) значення дорівнює \(2\).
