Об этом материале
Задача по математике, 10 класс: Властивості кореня n-го степеня. Пошаговые подсказки, полное решение и ответ. Длительность — 55 мин.
Условие задачи
Подсказки для объяснения
Открывайте подсказки постепенно — сначала дайте ребенку подумать самостоятельно.
Подсказка 1
Скористайтеся властивістю \(\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\) для коренів однакового степеня.
Подсказка 2
Зведіть підкореневі вирази до зручного вигляду, виділивши повний куб.
Подсказка 3
Після спрощення обчисліть різницю отриманих значень.
Пошаговое решение
Маємо \(\sqrt[3]{54}\cdot\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{108}\). Оскільки \(108=27\cdot 4\), то \(\sqrt[3]{108}=\sqrt[3]{27\cdot 4}=3\sqrt[3]{4}\). Також \(\sqrt[3]{16}=\sqrt[3]{8\cdot 2}=2\sqrt[3]{2}\). Але зручніше спочатку помітити, що \(\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot 2}=3\sqrt[3]{2}\). Тоді \(\sqrt[3]{54}\cdot\sqrt[3]{2}=3\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{2}=3\sqrt[3]{4}\). Щоб отримати числове значення, скористаємося іншим способом: \(\sqrt[3]{54}\cdot\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{108}=\sqrt[3]{27\cdot 4}=3\sqrt[3]{4}\), а \(\sqrt[3]{16}=\sqrt[3]{8\cdot 2}=2\sqrt[3]{2}\). Тоді вираз дорівнює \(3\sqrt[3]{4}-2\sqrt[3]{2}\). Помічаємо, що \(\sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{2\cdot 2}=\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{2^{0}}\), тому краще повернутися до початкового виразу: \(\sqrt[3]{54}\cdot\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{108}\), а \(108=64+44\) не дає простого виділення. Отже, правильне спрощення через \(54=27\cdot 2\): \(\sqrt[3]{54}=3\sqrt[3]{2}\), тому \(\sqrt[3]{54}\cdot\sqrt[3]{2}=3\sqrt[3]{4}\). Аналогічно \(\sqrt[3]{16}=2\sqrt[3]{2}\). Але оскільки у виразі немає подібних радикалів, числове значення не зводиться до цілого без додаткових умов. Тому тут слід було б уточнити, що вираз у спрощеному вигляді дорівнює \(3\sqrt[3]{4}-2\sqrt[3]{2}\). Якщо ж у завданні передбачалося обчислити саме спрощений вираз, то відповідь: \(3\sqrt[3]{4}-2\sqrt[3]{2}\).
