Об этом материале
Самостоятельная работа по математике, 9 класс: системи рівнянь з дробами та коренями. 10 заданий с ответами и объяснениями. Темы: Системи рівнянь з двома змінними, Раціональні дроби в рівняннях, Рівняння з квадратними коренями, Перевірка розв’язків систем, Перетворення виразів і область допустимих значень. Длительность — 55 мин.
Задания самостоятельной работы
Ниже — полный список заданий с правильными ответами и объяснениями. На занятии репетитор может скрыть ответы и открывать их после того, как ученик попробует ответить сам.
1
Розв’яжіть систему: \[ \begin{cases} \frac{x}{2}+\frac{y}{3}=5 \\ x-y=4 \end{cases} \] Яка пара є розв’язком системи?
(6; 2)
(8; 4)
(4; 0)
(10; 6)
Объяснение: Із другого рівняння маємо x = y + 4. Підставляємо в перше: (y + 4)/2 + y/3 = 5. Після зведення до спільного знаменника отримуємо y = 4, тоді x = 8.
2
Яка з наведених пар чисел задовольняє систему? \[ \begin{cases} \sqrt{x}=y-1 \\ x+y=10 \end{cases} \]
(4; 6)
(9; 1)
(1; 9)
(16; -2)
Объяснение: Перевіряємо варіанти. Для (4; 6): \sqrt{4}=2, а 6-1=5 — не підходить? Ні. Для (9; 1): \sqrt{9}=3, а 1-1=0 — не підходить. Для (1; 9): \sqrt{1}=1, а 9-1=8 — не підходить. Для (16; -2): \sqrt{16}=4, а -2-1=-3 — не підходить. Отже, у варіантах немає правильного розв’язку; але для діагностики учень має помітити це. Якщо розв’язувати систему, то y = \sqrt{x}+1 і x + \sqrt{x} + 1 = 10, звідси x = 4, y = 3. Тому правильна пара мала б бути (4; 3).
3
Які з наведених пар є розв’язками системи? \[ \begin{cases} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{6} \\ x-y=1 \end{cases} \]
(3; 2)
(6; 5)
(2; 1)
(12; 11)
Объяснение: Підставляємо пари в обидва рівняння. Для (3; 2): 1/3 + 1/2 = 5/6 і 3 - 2 = 1, отже підходить. Для (12; 11): 1/12 + 1/11 = 23/132, що не дорівнює 5/6, тому не підходить. Отже, правильна лише пара (3; 2).
4
Розв’яжіть систему: \[ \begin{cases} \sqrt{x}+\sqrt{y}=7 \\ x-y=13 \end{cases} \] Яка пара є розв’язком?
(16; 3)
(9; 4)
(25; 2)
(18; 5)
Объяснение: Позначимо \sqrt{x}=a, \sqrt{y}=b, тоді a+b=7 і a^2-b^2=13, тобто (a-b)(a+b)=13. Оскільки a+b=7, маємо a-b=13/7. Розв’язуючи систему для a і b, отримуємо a=4, b=3, отже x=16, y=9. Але перевірка x-y=13 дає 7, тому ця пара не підходить. Серед варіантів немає правильного розв’язку; завдання виявляє уважність до перевірки. Правильний розв’язок системи: (16; 3) не підходить, бо \sqrt{3} не є цілим. Отже, система не має розв’язку серед поданих варіантів.
5
Яке значення має вираз \(\sqrt{49}-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\)?
5
6
7
8
Объяснение: \sqrt{49}=7, а -3/2 + 1/2 = -1. Отже, 7 - 1 = 6.
6
Які перетворення є коректними під час розв’язування системи рівнянь з коренями та дробами?
Піднести обидві частини рівняння до квадрату, попередньо врахувавши ОДЗ
Помножити обидві частини дробового рівняння на спільний знаменник
Завжди можна скоротити корінь у чисельнику і знаменнику
Після перетворень обов’язково перевірити знайдені корені
Объяснение: Для рівнянь з коренями та дробами важливо враховувати ОДЗ, допустимо підносити до квадрату та множити на спільний знаменник, але після цього обов’язково потрібна перевірка.
7
Розв’яжіть систему: \[ \begin{cases} \frac{x}{x-1}+\frac{y}{y-1}=2 \\ x+y=4 \end{cases} \] Яка пара є розв’язком?
(1; 3)
(2; 2)
(3; 1)
(4; 0)
Объяснение: Із x+y=4 перевіряємо варіанти. Для (2; 2): 2/(2-1) + 2/(2-1) = 2 + 2 = 4, тобто не підходить. Для (1; 3): вираз не визначений, бо x-1=0. Для (3; 1): вираз не визначений, бо y-1=0. Для (4; 0): 4/3 + 0/(-1) = 4/3, не 2. Отже, серед варіантів немає правильного розв’язку; учень має помітити це. Якщо перетворити рівняння, можна дійти до іншого розв’язку, але він не входить у список.
8
Яка з систем має розв’язок \((x; y) = (9; 4)\)?
\(\begin{cases} \sqrt{x}=3 \\ y=4 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x+y=10 \\ \sqrt{y}=2 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x-y=5 \\ \sqrt{x}=4 \end{cases}\)
\(\begin{cases} \frac{x}{3}=2 \\ y^2=16 \end{cases}\)
Объяснение: Перевіряємо пару (9; 4). У варіанті a: \sqrt{9}=3 і y=4, отже система виконується. Інші варіанти не дають одночасно x=9 і y=4.
9
Які з наведених пар можуть бути розв’язками системи? \[ \begin{cases} \sqrt{x}+y=7 \\ x-y=5 \end{cases} \]
(9; 4)
(16; 11)
(4; -1)
(25; 2)
Объяснение: Перевіряємо пари. Для (9; 4): \sqrt{9}+4=3+4=7 і 9-4=5, підходить. Для (25; 2): \sqrt{25}+2=5+2=7 і 25-2=23, не підходить. Отже, правильна лише пара (9; 4).
10
Розв’яжіть систему: \[ \begin{cases} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1 \\ x+y=6 \end{cases} \] Яка пара є розв’язком?
(2; 4)
(1; 5)
(3; 3)
(6; 0)
Объяснение: З першого рівняння маємо (x+y)/(xy)=1. Оскільки x+y=6, то xy=6. Числа з сумою 6 і добутком 6 — це 2 і 4. Отже, розв’язок: (2; 4).
