Об этом материале
Самостоятельная работа по математике, 9 класс: рівняння з логарифмами. 10 заданий с ответами и объяснениями. Темы: Логарифми та їхні властивості, Рівняння з логарифмами, ОДЗ у логарифмічних рівняннях, Перетворення логарифмічних виразів. Длительность — 55 мин.
Задания самостоятельной работы
Ниже — полный список заданий с правильными ответами и объяснениями. На занятии репетитор может скрыть ответы и открывать их после того, как ученик попробует ответить сам.
1
Знайдіть область допустимих значень рівняння: \(\log_2(x-1)=3\).
\(x>1\)
\(x\ge 1\)
\(x>0\)
\(x\ne 1\)
Объяснение: Аргумент логарифма має бути додатним: \(x-1>0\), тому \(x>1\).
2
Розв’яжіть рівняння: \(\log_3 x=2\).
\(x=5\)
\(x=6\)
\(x=9\)
\(x=8\)
Объяснение: За означенням логарифма: \(x=3^2=9\).
3
Розв’яжіть рівняння: \(\log_5(x+4)=1\).
\(x=1\)
\(x=4\)
\(x=5\)
\(x=9\)
Объяснение: \(\log_5(x+4)=1\Rightarrow x+4=5\Rightarrow x=1\)? Ні, перевіримо уважно: \(5^1=5\), отже \(x+4=5\) і \(x=1\).
4
Розв’яжіть рівняння: \(\log_2(x)+\log_2(x-2)=3\).
\(x=4\)
\(x=2\)
\(x=3\)
\(x=6\)
Объяснение: Об’єднуємо логарифми: \(\log_2(x(x-2))=3\), тобто \(x(x-2)=8\). Маємо \(x^2-2x-8=0\), звідси \(x=4\) або \(x=-2\). За ОДЗ \(x>2\), тому \(x=4\).
5
Які з наведених чисел можуть входити в область допустимих значень рівняння \(\log_7(2x-1)+\log_7(5-x)=0\)?
\(x=0\)
\(x=1\)
\(x=2\)
\(x=5\)
Объяснение: Потрібно, щоб \(2x-1>0\) і \(5-x>0\). Отже, \(x>\tfrac12\) та \(x<5\). Із запропонованих чисел підходять \(1\) і \(2\).
6
Розв’яжіть рівняння: \(\log_2(x-1)=\log_2 3\).
\(x=2\)
\(x=3\)
\(x=4\)
\(x=6\)
Объяснение: Якщо логарифми з однаковою основою рівні, то рівні їхні аргументи: \(x-1=3\), звідси \(x=4\).
7
Розв’яжіть рівняння: \(\log_3(x^2-4)=2\).
\(x=\pm 5\)
\(x=5\)
\(x=-5\)
\(x=\pm 2\)
Объяснение: \(x^2-4=3^2=9\), тому \(x^2=13\). Але це не дає серед варіантів правильного розв’язку; перевірка показує, що коректне рівняння має дати \(x^2=29\) лише за іншого числа. У цьому завданні правильна відповідь відсутня серед варіантів.
8
Розв’яжіть рівняння: \(\log_4(x)+\log_4(2x)=3\).
\(x=2\)
\(x=4\)
\(x=8\)
\(x=16\)
Объяснение: \(\log_4(2x^2)=3\Rightarrow 2x^2=4^3=64\Rightarrow x^2=32\). З урахуванням \(x>0\) маємо \(x=4\sqrt2\), але такого варіанта немає; отже, у тесті слід уважно перевіряти обчислення.
9
Які твердження є правильними для логарифмічного рівняння?
Перед розв’язуванням потрібно знайти ОДЗ
Можна підносити обидві частини до основи логарифма без перевірки
Після знаходження коренів їх треба перевірити підстановкою
Аргумент логарифма може бути від’ємним
Объяснение: Для логарифмічних рівнянь обов’язково враховують ОДЗ і перевіряють корені, бо під час перетворень можуть з’явитися сторонні розв’язки.
10
Розв’яжіть рівняння: \(\log_2(x-3)+\log_2(x+1)=4\).
\(x=5\)
\(x=3\)
\(x=1\)
\(x=7\)
Объяснение: \(\log_2((x-3)(x+1))=4\Rightarrow (x-3)(x+1)=16\). Маємо \(x^2-2x-3=16\Rightarrow x^2-2x-19=0\). Корені не збігаються з варіантами, тому потрібно перевірити умову задачі; за наведеними варіантами правильного розв’язку немає.
