Об этом материале
Задача по математике, 11 класс: робота з графіками. Пошаговые подсказки, полное решение и ответ. Темы: Лінійна та квадратична функції — робота з графіками. Длительность — 55 мин.
Условие задачи
Подсказки для объяснения
Открывайте подсказки постепенно — сначала дайте ребенку подумать самостоятельно.
Подсказка 1
Щоб знайти точки перетину, прирівняй значення функцій: 2x - 3 = x^2 - 4x + 3.
Подсказка 2
Перенеси всі доданки в одну сторону та розв’яжи квадратне рівняння.
Подсказка 3
Після знаходження x підстав їх у будь-яку з функцій, щоб отримати y.
Подсказка 4
Для порівняння графіків розглянь нерівність 2x - 3 > x^2 - 4x + 3.
Подсказка 5
Вершину параболи y = ax^2 + bx + c знайди за формулою x0 = -b/(2a), а потім обчисли y0.
Пошаговое решение
1) Знайдемо точки перетину графіків, прирівнявши функції: 2x - 3 = x^2 - 4x + 3. Перенесемо все в одну сторону: x^2 - 6x + 6 = 0. Розв’яжемо квадратне рівняння: D = (-6)^2 - 4·1·6 = 36 - 24 = 12. Тоді x = (6 ± √12)/2 = (6 ± 2√3)/2 = 3 ± √3. Але перевіримо обчислення уважно: якщо підставити x = 1 і x = 3, то обидві функції дають однакові значення? Для x = 1: 2·1 - 3 = -1, а 1^2 - 4·1 + 3 = 0, отже це не перетин. Значить, у попередньому перетворенні треба бути обережним. Правильно: 2x - 3 = x^2 - 4x + 3 0 = x^2 - 6x + 6. Корені: x = 3 ± √3. Знайдемо y: Для x = 3 - √3: y = 2(3 - √3) - 3 = 3 - 2√3. Для x = 3 + √3: y = 2(3 + √3) - 3 = 3 + 2√3. Отже, точки перетину: (3 - √3; 3 - 2√3) і (3 + √3; 3 + 2√3). 2) Щоб лінійна функція була вище за квадратичну, потрібно: 2x - 3 > x^2 - 4x + 3. Переносимо: 0 > x^2 - 6x + 6, тобто x^2 - 6x + 6 < 0. Корені цього квадратного тричлена: x = 3 ± √3. Оскільки парабола вгору, нерівність < 0 виконується між коренями: 3 - √3 < x < 3 + √3. 3) Вершина параболи y = x^2 - 4x + 3: x0 = -b/(2a) = -(-4)/(2·1) = 2. y0 = 2^2 - 4·2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1. Отже, вершина: (2; -1). Щоб перевірити перетин з віссю Ox, розв’яжемо x^2 - 4x + 3 = 0: (x - 1)(x - 3) = 0, тому x = 1 або x = 3. Парабола перетинає вісь Ox у двох точках: (1; 0) і (3; 0).
