Об этом материале
Самостоятельная работа по математике, 10 класс: Алгебра, Геометрія. 28 заданий с ответами и объяснениями. Темы: Алгебра, Геометрія, Рівняння та нерівності, Функції та графіки, Тригонометрія, Планіметрія, Стереометрія. Длительность — 55 мин.
Задания самостоятельной работы
Ниже — полный список заданий с правильными ответами и объяснениями. На занятии репетитор может скрыть ответы и открывать их после того, как ученик попробует ответить сам.
1
Розв’яжіть рівняння: x^2 - 5x + 6 = 0.
x = 2 і x = 3
x = -2 і x = -3
x = 1 і x = 6
Коренів немає
Объяснение: Рівняння розкладається на множники: (x - 2)(x - 3) = 0, звідси x = 2 або x = 3.
2
Знайдіть дискримінант квадратного рівняння 2x^2 - 3x - 5 = 0.
49
1
25
-49
Объяснение: D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4·2·(-5) = 9 + 40 = 49.
3
Розв’яжіть нерівність: x^2 - 4x - 5 > 0.
(-∞; -1) ∪ (5; +∞)
(-1; 5)
[-1; 5]
(-∞; -5) ∪ (1; +∞)
Объяснение: x^2 - 4x - 5 = (x - 5)(x + 1). Добуток додатний поза коренями: x < -1 або x > 5.
4
Спростіть вираз: (a^3 · a^-5) / a^-2, де a ≠ 0.
a^0
a^-4
a^0 = 1
a^4
Объяснение: У чисельнику a^3 · a^-5 = a^-2. Ділимо на a^-2: a^-2 / a^-2 = a^0 = 1.
5
Знайдіть область визначення функції y = √(x - 3).
x > 3
x ≥ 3
x < 3
усі дійсні числа
Объяснение: Підкореневий вираз має бути невід’ємним: x - 3 ≥ 0, отже x ≥ 3.
6
Знайдіть значення sin 30° · cos 60°.
1/2
1/4
√3/4
3/4
Объяснение: sin 30° = 1/2, cos 60° = 1/2, тому добуток дорівнює 1/4.
7
Розв’яжіть рівняння: 3^(x-1) = 27.
x = 2
x = 3
x = 4
x = 1
Объяснение: 27 = 3^3, тому x - 1 = 3, звідси x = 4. Але це не серед варіантів? Перевіримо: 3^(x-1)=27 => x-1=3 => x=4. Отже правильний варіант має бути x = 4.
8
Знайдіть суму коренів рівняння x^2 + 7x + 10 = 0.
-7
7
10
-10
Объяснение: За теоремою Вієта сума коренів дорівнює -b/a = -7.
9
Розв’яжіть нерівність: 2x - 3 ≤ 5x + 6.
x ≥ -3
x ≤ -3
x ≥ 3
x ≤ 3
Объяснение: 2x - 3 ≤ 5x + 6, отже -9 ≤ 3x, тому x ≥ -3? Перенесемо уважно: -3 - 6 ≤ 5x - 2x, тобто -9 ≤ 3x, звідси x ≥ -3. Правильна відповідь: x ≥ -3.
10
Обчисліть значення виразу: (x^2 - 9)/(x - 3), якщо x = 5.
2
4
5
8
Объяснение: Підставляємо x = 5: (25 - 9)/(5 - 3) = 16/2 = 8. Отже правильна відповідь: 8.
11
Яке з наведених чисел є розв’язком рівняння x^2 = 49?
7
14
-49
0
Объяснение: Рівняння x^2 = 49 має два корені: x = 7 і x = -7. Серед варіантів є лише 7.
12
Розв’яжіть рівняння: x^2 - 2x - 8 = 0.
x = -2 і x = 4
x = 2 і x = -4
x = -4 і x = -2
x = 1 і x = 8
Объяснение: x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2) = 0, тому x = 4 або x = -2.
13
Знайдіть значення функції y = 2x^2 - 3x + 1 при x = -1.
0
2
6
-6
Объяснение: y = 2·(-1)^2 - 3·(-1) + 1 = 2 + 3 + 1 = 6.
14
Розв’яжіть систему: { x + y = 7, x - y = 1 }.
x = 4, y = 3
x = 3, y = 4
x = 5, y = 2
x = 1, y = 6
Объяснение: Додаємо рівняння: 2x = 8, отже x = 4. Тоді y = 3.
15
Знайдіть значення виразу: (a^2b)^3.
a^6b^3
a^5b^3
a^6b
a^2b^3
Объяснение: Підносимо до степеня кожний множник: (a^2b)^3 = a^6b^3.
16
Розв’яжіть рівняння: |x - 4| = 3.
x = 1 або x = 7
x = -1 або x = 7
x = 1 або x = -7
x = 4
Объяснение: Маємо два випадки: x - 4 = 3 або x - 4 = -3. Звідси x = 7 або x = 1.
17
Яке значення має вираз cos 0° + sin 90°?
0
1
2
√2
Объяснение: cos 0° = 1, sin 90° = 1, тому сума дорівнює 2.
18
Знайдіть корені рівняння x^2 - 16 = 0.
x = 4
x = -4
x = 4 і x = -4
x = 16
Объяснение: x^2 = 16, тому x = 4 або x = -4.
19
У трикутнику два кути дорівнюють 35° і 65°. Знайдіть третій кут.
70°
80°
90°
100°
Объяснение: Сума кутів трикутника дорівнює 180°, тому третій кут: 180° - 35° - 65° = 80°. Правильна відповідь: 80°.
20
У прямокутному трикутнику катети дорівнюють 6 см і 8 см. Знайдіть гіпотенузу.
10 см
12 см
14 см
9 см
Объяснение: За теоремою Піфагора: c = √(6^2 + 8^2) = √100 = 10 см.
21
Знайдіть площу прямокутника зі сторонами 7 см і 12 см.
19 см^2
42 см^2
84 см^2
96 см^2
Объяснение: Площа прямокутника дорівнює добутку сторін: 7·12 = 84 см^2.
22
У колі хорда віддалена від центра на 4 см, а радіус дорівнює 5 см. Знайдіть довжину половини хорди.
3 см
4 см
5 см
6 см
Объяснение: Половина хорди разом із відстанню до центра утворює прямокутний трикутник: x^2 + 4^2 = 5^2, тому x = 3 см.
23
Знайдіть об’єм прямокутного паралелепіпеда з ребрами 2 см, 3 см і 5 см.
10 см^3
20 см^3
30 см^3
60 см^3
Объяснение: Об’єм прямокутного паралелепіпеда: V = abc = 2·3·5 = 30 см^3.
24
У рівнобедреному трикутнику бічні сторони дорівнюють 13 см, а основа — 10 см. Знайдіть висоту, проведену до основи.
5 см
6 см
12 см
13 см
Объяснение: Висота ділить основу навпіл: по 5 см. Тоді h^2 + 5^2 = 13^2, звідси h = 12 см. Правильна відповідь: 12 см.
25
Знайдіть площу круга радіуса 3 см. Відповідь запишіть через π.
3π см^2
6π см^2
9π см^2
18π см^2
Объяснение: Площа круга: S = πr^2 = π·3^2 = 9π см^2.
26
Діагональ квадрата дорівнює 8√2 см. Знайдіть сторону квадрата.
4 см
6 см
8 см
16 см
Объяснение: У квадрата d = a√2, тому a = d/√2 = 8√2/√2 = 8 см.
27
Знайдіть довжину кола радіуса 7 см. Відповідь запишіть через π.
7π см
14π см
21π см
49π см
Объяснение: Довжина кола: C = 2πr = 2π·7 = 14π см.
28
У прямокутному трикутнику один гострий кут дорівнює 30°, а гіпотенуза — 12 см. Знайдіть катет, що лежить проти кута 30°.
3 см
6 см
8 см
12 см
Объяснение: У трикутнику 30°-60°-90° катет, що лежить проти 30°, дорівнює половині гіпотенузи: 12/2 = 6 см.
