O tym materiale
Chcę przygotować sprawdzian diagnozujący z matematyki dla uczennicy Marty Woelke, klasa 10, na 50 minut, na poziomie trudnym. Ma obejmować działy: Liczby rzeczywiste, Algebra, Funkcje – wprowadzenie, Funkcja liniowa, Funkcja kwadratowa oraz Wyrażenia algebraiczne. Proszę uwzględnić wskazane podrozdziały i przygotować zadania sprawdzające cały ten zakres.
Marta Kobryn
Autor materiału
Zadania diagnostyki
Poniżej pełna lista zadań z poprawnymi odpowiedziami i wyjaśnieniami. Na lekcji korepetytor może ukryć odpowiedzi i odsłaniać je po próbie ucznia.
1
Który zbiór liczb jest równy przedziałowi \((-2, 5]\)?
\{x \in \mathbb{R} : -2 < x \le 5\}
\{x \in \mathbb{R} : -2 \le x < 5\}
\{x \in \mathbb{R} : -2 < x < 5\}
\{x \in \mathbb{R} : -2 \le x \le 5\}
Wyjaśnienie: Przedział \((-2, 5]\) zawiera liczby większe od -2 i nie większe niż 5.
2
Oblicz wartość wyrażenia \(\sqrt{50} - 2\sqrt{8}\).
\(\sqrt{2}\)
\(\sqrt{18}\)
\(\sqrt{50}\)
\(3\sqrt{2}\)
Wyjaśnienie: \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), a \(2\sqrt{8}=2\cdot 2\sqrt{2}=4\sqrt{2}\), więc różnica wynosi \(\sqrt{2}\).
3
Rozwiąż równanie \(3(2x-1)-4=x+5\).
\(x=2\)
\(x=3\)
\(x=4\)
\(x=5\)
Wyjaśnienie: Po uproszczeniu otrzymujemy \(6x-7=x+5\), więc \(5x=12\)? Nie, poprawnie: \(6x-3-4=x+5\), czyli \(6x-7=x+5\), stąd \(5x=12\) i \(x=\frac{12}{5}\).
4
Która liczba spełnia nierówność \(2x-7<5\)?
\(x=5\)
\(x=6\)
\(x=7\)
\(x=8\)
Wyjaśnienie: Nierówność daje \(2x<12\), czyli \(x<6\). Spośród podanych liczb tylko 5 spełnia warunek.
5
Które pary liczb spełniają układ równań \(\begin{cases}x+y=7\\x-y=1\end{cases}\)?
\((4,3)\)
\((3,4)\)
\((5,2)\)
\((6,1)\)
Wyjaśnienie: Z dodania równań mamy \(2x=8\), więc \(x=4\), a wtedy \(y=3\). Para \((5,2)\) nie spełnia drugiego równania, więc nie jest rozwiązaniem.
6
Rozwiń wyrażenie \((2x-3)^2\).
\(4x^2-9\)
\(4x^2-12x+9\)
\(4x^2-12x+6\)
\(4x^2-6x+9\)
Wyjaśnienie: Korzystamy ze wzoru \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\): \((2x-3)^2=4x^2-12x+9\).
7
Dana jest funkcja opisana wzorem \(f(x)=2x-1\). Jaki jest jej współczynnik kierunkowy?
\(-1\)
\(1\)
\(2\)
\(\frac{1}{2}\)
Wyjaśnienie: We wzorze \(f(x)=ax+b\) współczynnik kierunkowy to liczba stojąca przy \(x\), czyli \(a=2\).
8
Funkcja kwadratowa ma postać \(f(x)=(x-2)^2-9\). Jaki jest wierzchołek paraboli?
\((2,-9)\)
\((-2,-9)\)
\((2,9)\)
\((-2,9)\)
Wyjaśnienie: W postaci kanonicznej \(f(x)=a(x-p)^2+q\) wierzchołek ma współrzędne \((p,q)\). Tutaj jest to \((2,-9)\).
9
Która z liczb jest rozwiązaniem równania \(x^2-5x+6=0\)?
\(x=1\)
\(x=2\)
\(x=5\)
\(x=-2\)
Wyjaśnienie: Równanie rozkłada się na \((x-2)(x-3)=0\), więc rozwiązaniami są \(x=2\) i \(x=3\).
10
Które z poniższych zdań są prawdziwe dla funkcji \(g(x)=\frac{1}{x}\)?
Dziedzina tej funkcji to \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\)
Funkcja jest rosnąca na całej dziedzinie
Wykres ma asymptoty osi układu współrzędnych
Funkcja przyjmuje wartość \(0\)
Wyjaśnienie: Funkcja \(\frac{1}{x}\) nie jest określona dla \(x=0\), ma asymptoty \(x=0\) i \(y=0\), a nigdy nie przyjmuje wartości 0.
11
Uprość wyrażenie \(\frac{x^2-9}{x-3}\) dla \(x\neq 3\).
\(x-3\)
\(x+3\)
\(x^2+3\)
\(x^2-3\)
Wyjaśnienie: Licznik rozkłada się na \((x-3)(x+3)\), więc po skróceniu z \(x-3\) zostaje \(x+3\).
12
Rozwiąż równanie z wartością bezwzględną \(|2x-1|=5\).
\(x=2\) lub \(x=-3\)
\(x=3\) lub \(x=-2\)
\(x=\frac{3}{2}\) lub \(x=-\frac{1}{2}\)
\(x=5\) lub \(x=-5\)
Wyjaśnienie: Z definicji wartości bezwzględnej mamy dwa przypadki: \(2x-1=5\) lub \(2x-1=-5\). Stąd \(x=3\) albo \(x=-2\).
13
Oblicz wartość wyrażenia \(3a-2b\) dla \(a=-1\) i \(b=4\).
\(-11\)
\(11\)
\(-5\)
\(5\)
Wyjaśnienie: Podstawiamy: \(3\cdot(-1)-2\cdot4=-3-8=-11\).
14
Która z podanych funkcji jest liniowa?
\(f(x)=x^2+1\)
\(f(x)=\frac{2}{x}\)
\(f(x)=3x-4\)
\(f(x)=\sqrt{x}\)
Wyjaśnienie: Funkcja liniowa ma postać \(f(x)=ax+b\). Tylko \(f(x)=3x-4\) ma taką postać.
15
Dla funkcji \(f(x)=-2x+6\) oblicz miejsce zerowe.
\(x=2\)
\(x=-2\)
\(x=3\)
\(x=-3\)
Wyjaśnienie: Miejsce zerowe spełnia równanie \(-2x+6=0\), więc \(-2x=-6\) i \(x=3\).
16
Które z podanych wyrażeń są równe \(x(x-3)+2x\)?
\(x^2-x\)
\(x^2-3x+2x\)
\(x^2+5x\)
\(x(x+3)\)
Wyjaśnienie: Po uproszczeniu \(x(x-3)+2x=x^2-3x+2x=x^2-x\).
17
Ile wynosi \(\Delta\) dla równania \(x^2-4x+1=0\)?
\(12\)
\(16\)
\(8\)
\(4\)
Wyjaśnienie: Dla \(ax^2+bx+c\) mamy \(\Delta=b^2-4ac\). Tutaj \(a=1\), \(b=-4\), \(c=1\), więc \(\Delta=16-4=12\).
18
Który punkt leży na wykresie funkcji \(y=2x+1\)?
\((0,1)\)
\((1,1)\)
\((1,3)\)
\((2,2)\)
Wyjaśnienie: Sprawdzamy podstawienie. Dla \(x=0\) otrzymujemy \(y=1\), więc punkt \((0,1)\) należy do wykresu.
19
Rozwiąż nierówność \(x^2-9>0\).
\(-3<x<3\)
\(x<-3\) lub \(x>3\)
\(x\le -3\) lub \(x\ge 3\)
\(x>0\)
Wyjaśnienie: Mamy \(x^2-9=(x-3)(x+3)\). Iloczyn jest dodatni, gdy oba czynniki są dodatnie lub oba ujemne, czyli dla \(x<-3\) lub \(x>3\).
20
Funkcja kwadratowa \(f(x)=x^2-6x+5\) ma oś symetrii równą:
\(x=3\)
\(x=-3\)
\(y=3\)
\(y=-3\)
Wyjaśnienie: Oś symetrii paraboli ma równanie \(x=-\frac{b}{2a}\). Dla \(a=1\), \(b=-6\) otrzymujemy \(x=3\).
