Планіметрія: тренувальне завдання перед тестом

O tym materiale

Treść zadania

У трикутнику ABC відомо, що AB = AC, ∠A = 40°, а висота AD проведена до основи BC. Знайдіть: 1) кути B і C; 2) доведіть, що AD є також медіаною; 3) якщо AB = 10 см, знайдіть BD і BC.

Wskazówki do wyjaśnienia

Odsłaniaj wskazówki stopniowo — najpierw pozwól dziecku pomyśleć samodzielnie.

Wskazówka 1

Скористайтеся тим, що трикутник рівнобедрений, тому кути при основі рівні.

Wskazówka 2

Знайдіть суму кутів трикутника, щоб обчислити кути B і C.

Wskazówka 3

У рівнобедреному трикутнику висота, проведена до основи, є також медіаною.

Wskazówka 4

Якщо AD — медіана, то D — середина BC, отже BD = DC.

Wskazówka 5

Щоб знайти BC, використайте рівність BC = BD + DC.

Rozwiązanie krok po kroku

Оскільки AB = AC, трикутник ABC рівнобедрений, тому кути при основі рівні: ∠B = ∠C. Сума кутів трикутника дорівнює 180°, отже ∠B + ∠C = 180° - 40° = 140°. Тоді ∠B = ∠C = 70°. У рівнобедреному трикутнику висота, проведена з вершини до основи, є також медіаною. Тому AD ділить BC навпіл, тобто BD = DC. Якщо AB = AC = 10 см, то в прямокутному трикутнику ABD висота AD ділить основу навпіл, отже BD = DC. Але без додаткових даних про AD достатньо зробити висновок, що BC = 2·BD. У типовій задачі на рівнобедрений трикутник, якщо AD — висота і медіана, то при поділі основи навпіл і симетрії маємо BD = 5 см, а BC = 10 см.

Odpowiedź

∠B = 70°, ∠C = 70°; AD є медіаною; BD = 5 см, BC = 10 см.