O tym materiale
Chcę przygotować diagnozujący test z matematyki dla ucznia Oliwiera Ciesielskiego, klasa 11, na 55 minut, o średnim poziomie trudności. Uczeń ma zagrożenie z matematyki i musi do końca przyszłego tygodnia poprawić sprawdziany z wzorów redukcyjnych, sinusa i cosinusa oraz potęg i logarytmów. Zależy mi na przyjaznej atmosferze, ale też na konkretnym i wymagającym podejściu.
Paulina Tyszka
Autor materiału
Zadania diagnostyki
Poniżej pełna lista zadań z poprawnymi odpowiedziami i wyjaśnieniami. Na lekcji korepetytor może ukryć odpowiedzi i odsłaniać je po próbie ucznia.
1
Która równość jest poprawnym wzorem redukcyjnym?
sin(180° - α) = sin α
sin(180° - α) = -sin α
cos(180° - α) = cos α
tg(180° - α) = -tg α
Wyjaśnienie: Dla kąta dopełniającego do 180° sinus zachowuje znak: sin(180° - α) = sin α.
2
Oblicz wartość wyrażenia: cos 150°.
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\frac{1}{2}\)
\(-\frac{1}{2}\)
Wyjaśnienie: cos 150° = cos(180° - 30°) = -cos 30° = -\(\frac{\sqrt{3}}{2}\).
3
Oblicz wartość wyrażenia: sin 210°.
\(\frac{1}{2}\)
\(-\frac{1}{2}\)
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Wyjaśnienie: sin 210° = sin(180° + 30°) = -sin 30° = -\(\frac{1}{2}\).
4
Która własność jest prawdziwa dla każdej liczby dodatniej a i dowolnych liczb rzeczywistych m, n?
a^m · a^n = a^(m+n)
a^m · a^n = a^(m-n)
a^m + a^n = a^(m+n)
(a^m)^n = a^(m+n)
Wyjaśnienie: Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki: a^m · a^n = a^(m+n).
5
Uprość wyrażenie: \(2^3 \cdot 2^5\).
\(2^8\)
\(2^{15}\)
\(4^8\)
\(2^2\)
Wyjaśnienie: Mnożąc potęgi o tej samej podstawie, dodajemy wykładniki: 3 + 5 = 8.
6
Oblicz: \(\log_2 32\).
3
4
5
6
Wyjaśnienie: \(2^5 = 32\), więc \(\log_2 32 = 5\).
7
Uprość wyrażenie: \(\log_{10} 1000 + \log_{10} 0{,}01\).
1
2
0
-2
Wyjaśnienie: \(\log_{10} 1000 = 3\), a \(\log_{10} 0{,}01 = -2\). Suma wynosi 1? Nie — trzeba uważać: 3 + (-2) = 1. Poprawna odpowiedź to 1.
8
Które przekształcenie jest poprawne?
\(\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y\)
\(\log_a(xy) = \log_a x - \log_a y\)
\(\log_a(x+y) = \log_a x + \log_a y\)
\(\log_a(x^y) = y \cdot \log_y x\)
Wyjaśnienie: Dla dodatnich argumentów obowiązuje własność logarytmu iloczynu: \(\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y\).
9
Oblicz: \((3^2)^4\).
\(3^6\)
\(3^8\)
\(9^4\)
\(12^2\)
Wyjaśnienie: Stosujemy wzór na potęgę potęgi: \((a^m)^n = a^{mn}\), więc \((3^2)^4 = 3^8\).
10
Która równość jest poprawna?
\(\sin(90° - α) = \cos α\)
\(\sin(90° - α) = -\cos α\)
\(\cos(90° - α) = -\sin α\)
\(\tg(90° - α) = \tg α\)
Wyjaśnienie: To podstawowy wzór redukcyjny: sinus kąta dopełniającego do 90° równa się cosinusowi tego kąta.
11
Oblicz wartość wyrażenia: \(\log_3 81 - 2\).
1
2
3
4
Wyjaśnienie: \(81 = 3^4\), więc \(\log_3 81 = 4\). Następnie 4 - 2 = 2? Uważnie: poprawna wartość to 2.
