O tym materiale
Chcę przygotować diagnozujący test z matematyki dla uczennicy Julii Ślęczki, 2 klasa, na 55 minut, o średnim poziomie trudności. Test ma uwzględniać twierdzenie o dzieleniu wielomianów.
Dominika Wiacek
Autor materiału
Zadania diagnostyki
Poniżej pełna lista zadań z poprawnymi odpowiedziami i wyjaśnieniami. Na lekcji korepetytor może ukryć odpowiedzi i odsłaniać je po próbie ucznia.
1
Która z podanych równości jest zgodna z twierdzeniem o dzieleniu wielomianów dla wielomianu P(x) przez dwumian (x - a)?
P(x) = (x - a)Q(x) + r
P(x) = Q(x) + (x - a)r
P(x) = (x + a)Q(x) - r
P(x) = Q(x) : (x - a) + r
Wyjaśnienie: Twierdzenie o dzieleniu wielomianów mówi, że przy dzieleniu przez (x - a) otrzymujemy iloraz Q(x) i resztę r, więc P(x) = (x - a)Q(x) + r.
2
Jaka jest reszta z dzielenia wielomianu P(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 przez (x - 2)?
-3
1
3
5
Wyjaśnienie: Z twierdzenia o reszcie podstawiamy x = 2: P(2) = 2·8 - 3·4 + 2 - 5 = 16 - 12 + 2 - 5 = 1, więc poprawna odpowiedź to 1. Wait, this conflicts with options; correct option should be 1.
3
Oblicz P(1) dla wielomianu P(x) = x^4 - 2x^3 + 3x - 4.
-2
0
2
-4
Wyjaśnienie: Podstawiamy x = 1: P(1) = 1 - 2 + 3 - 4 = -2. To jest też reszta z dzielenia przez (x - 1).
4
Jeśli wielomian P(x) dzieli się przez (x + 3) bez reszty, to jaka jest wartość P(-3)?
3
0
-3
Nie da się określić
Wyjaśnienie: Jeśli wielomian dzieli się przez (x + 3) bez reszty, to -3 jest jego pierwiastkiem, więc P(-3) = 0.
5
Które stwierdzenia są prawdziwe?
Reszta z dzielenia P(x) przez (x - a) jest równa P(a).
Jeśli P(a) = 0, to (x - a) jest dzielnikiem wielomianu P(x).
Każdy wielomian dzieli się przez (x - a) bez reszty.
Jeśli reszta z dzielenia wynosi 0, to wielomian nie ma pierwiastków.
Wyjaśnienie: Prawdziwe są dwa pierwsze zdania: to treść twierdzenia o reszcie i wniosek o pierwiastku wielomianu.
6
Która liczba jest pierwiastkiem wielomianu P(x) = x^2 - 5x + 6?
1
2
5
6
Wyjaśnienie: Sprawdzamy: P(2) = 4 - 10 + 6 = 0, więc 2 jest pierwiastkiem wielomianu.
7
Jaki jest iloraz przy dzieleniu wielomianu x^2 - 4x + 3 przez (x - 1)?
x - 3
x + 3
x - 1
x + 1
Wyjaśnienie: Rozkład: x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3). Zatem ilorazem jest x - 3.
8
Reszta z dzielenia wielomianu P(x) = 3x^3 + x^2 - 2x + 7 przez (x + 1) wynosi:
9
7
5
-5
Wyjaśnienie: Dla dzielnika (x + 1) podstawiamy x = -1: P(-1) = -3 + 1 + 2 + 7 = 7. Poprawna odpowiedź powinna być 7.
9
Które z poniższych zdań najlepiej opisuje twierdzenie o dzieleniu wielomianów?
Każdy wielomian można zapisać jako iloczyn dwóch dowolnych wielomianów.
Przy dzieleniu wielomianu przez dwumian otrzymujemy iloraz i resztę, a wielomian można zapisać w postaci P(x) = D(x)Q(x) + r.
Reszta z dzielenia zawsze jest równa 1.
Wielomian nie może mieć pierwiastków.
Wyjaśnienie: To podstawowa postać twierdzenia o dzieleniu wielomianów: P(x) = D(x)Q(x) + r, gdzie stopień reszty jest mniejszy od stopnia dzielnika.
10
Jeśli P(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2 i P(1) = 0, to co można stwierdzić?
(x - 1) jest dzielnikiem wielomianu P(x).
(x + 1) jest dzielnikiem wielomianu P(x).
Wielomian nie ma ilorazu przy dzieleniu.
Reszta z dzielenia przez (x - 1) wynosi 1.
Wyjaśnienie: Jeśli P(1) = 0, to 1 jest pierwiastkiem wielomianu, więc (x - 1) jest jego dzielnikiem.
