Арифметические операции — неотъемлемая часть математики. Сложение и вычитание являются одними из первых действий, которые мы изучаем, и они применяются к разным типам чисел: целым, дробным и смешанным. В этой статье рассмотрим, что такое смешанные числа и как выполнять с ними сложение и вычитание.
Что такое смешанные числа?
Как разделить 6 кусочков пиццы между 5 детьми? Каждый ребенок получит по одному (1 целый) кусочку пиццы, и 1 кусочек останется на тарелке. Таким образом, получится число:
\[1\frac16\]
\[1\;-\;целая\;часть\]
\[\frac1{16}\;-\;дробная\;часть\]
Число, которое состоит из целой и дробной частей, называется смешанным числом. Принято, что дробная часть — правильная и несократимая. Дробь правильная, если числитель меньше знаменателя.
Примеры смешанных чисел
\[3\frac12;\;11\frac38;\;1\frac{23}{47}\]
Преобразование неправильной дроби в смешанное число
Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанное число, нужно разделить числитель на знаменатель с остатком. Например, чтобы преобразовать дробь:
\[\frac{14}5 \]
Выполнив деление, получим целую часть (частное), остаток — в числитель, а знаменатель оставим без изменений. Итак:
\[\frac{14}5=2\frac45\]
Сложение смешанных чисел
Чтобы сложить два смешанных числа, следуйте следующим шагам:
Шаг 1. Сложите целые части с целыми.
\[2\frac37+4\frac27=(2+4)\]
Шаг 2. Дробные части сложите с дробными.
\[2\frac37+4\frac27=(2+4)+(\frac37+\frac27)\]
Шаг 3. Сложите полученные целую часть и дробь.
\[6+\frac57=6\frac57\]
Однако если в результате дробная часть окажется неправильной дробью, её нужно преобразовать в смешанное число. Например:
\[7\frac49+4\frac79=11\frac{11}9=11+1\frac29=12\frac29\]
Вычитание смешанных чисел
При вычитании смешанных чисел используйте следующие шаги:
Шаг 1. Вычтите целую часть из целой.
\[5\frac3{11}-1\frac2{11}=\;(5-1)\]
Шаг 2. Вычтите дробную часть из дробной.
\[5\frac3{11}-1\frac2{11}=\;(5-1)\;+(\frac3{11}-\frac2{11})\]
Шаг 3. Между целым числом и обыкновенной дробью поставьте действие сложения.
\[5\frac3{11}-1\frac2{11}=\;(5-1)\;+(\frac3{11}-\frac2{11})=4+\frac12=4\frac12\]
Иногда вычитание нельзя выполнить в три этапа. Это происходит, если числитель дробной части уменьшаемого меньше, чем числитель вычитаемого. В таком случае нужно выполнить дополнительный шаг:
\[7\;\frac2{5\;}-\;3\frac45=\]
Для вычитания воспользуемся вышеуказанным алгоритмом.
\[7\;\frac2{5\;}-\;3\frac45=(7-3)+(\frac25-\frac45)\]
Однако на данном этапе можно вычесть только целые части; операции с дробными частями невозможны, так как невозможно из меньшего числа вычесть большее. Чтобы выполнить вычитание:
Шаг 1. Отделить 1 от целой части.
\[2+\frac25-\frac45=\;1\;+\;1+\;\frac25-\frac45=\]
Шаг 2. Записать 1 в виде обыкновенной дроби, в которой числитель и знаменатель совпадают со знаменателем дробной части.
\[1\;+\;\frac55+\;\frac25-\frac45=\]
Шаг 3. Выполнить сложение дробных частей.
\[1+(\frac55+\frac25)-\frac45=1\frac75-\frac45\]
Шаг 4. Выполнить вычитание полученных дробных частей.
\[1+(\frac75-\frac45)=1\frac35\]
Преобразование смешанных чисел в неправильные дроби
Если смешанные числа преобразовать в неправильные дроби, их можно складывать или вычитать, как обычные дроби. Чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь, умножьте целую часть на знаменатель дроби и прибавьте числитель, записав результат в числитель.
Таким образом, получив неправильные дроби, можно выполнить сложение и вычитание, как с обычными дробями. Пример:
\[2\frac17+3\frac27=\]
Шаг 1. Преобразовать в неправильные дроби.
\[\frac{15}7+\frac{23}7=\]
Шаг 2. Сложить, как обычные дроби.
\[\frac{15}7+\frac{23}7=\frac{38}7\]
Шаг 3. Преобразовать полученную неправильную дробь в смешанное число.
\[\frac{38}7=5\frac37\]
Вывод
Смешанные числа используются не только на уроках математики, но и в повседневной жизни. Например, целый пирог и несколько его кусочков, наполненный стакан и половина такого же стакана. Понимание работы со смешанными числами помогает развивать математические навыки, которые могут пригодиться в реальных жизненных ситуациях.
