Одним из важнейших этапов изучения обыкновенных дробей является их упрощение до наименьшего вида. Сокращение дробей значительно облегчает вычисления. Безусловно, удобнее работать с сокращённой дробью, чем с нескороченной.
\[\frac57;\;\frac{60}{84}\]
Обе дроби равны, поэтому после упрощения мы получаем дробь, равную данной.
Дробь считается приведённой к наименьшему виду, если числитель и знаменатель взаимно просты или не имеют общих делителей, кроме 1. Деление числителя и знаменателя на одно и то же число, отличное от 1, называется сокращением дроби. Существует несколько методов сокращения.
Методы сокращения дробей
Чтобы лучше разобраться в обыкновенных дробях и уметь их сокращать, можно выбрать наиболее удобный метод.
Выделим три основных способа сокращения дробей:
- Метод последовательного сокращения.
- Деление на НОД числителя и знаменателя.
- Разложение на простые множители.
Любой из этих методов позволит получить несократимую дробь. Рассмотрим каждый метод подробнее.
Метод последовательного сокращения
Этот метод заключается в последовательном делении числителя и знаменателя на общий делитель. Рассмотрим, например, дробь:
\[\frac8{48}\]
Постепенно сократим её до наименьшего вида, пока числитель и знаменатель не будут иметь общих делителей, кроме 1.
Шаг 1. Найдите общий делитель числителя и знаменателя. Рассмотрим делители каждого числа:
Число 8: делители — 1, 2, 4, 8
Число 48: делители — 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
Наименьший общий делитель чисел 8 і 48 — это число 2.
Шаг 2. Разделите числитель и знаменатель на найденный общий делитель. Поскольку общий делитель равен 2, делим числитель и знаменатель на 2:
\[\frac8{48}=\frac4{24}\]
Шаг 3. Повторяйте шаг 2, пока не останутся только делители, отличные от 1.
\[\frac8{48}=\frac4{24}=\frac2{12}=\frac16\]
Попробуйте самостоятельно:
\[\frac{18}{27}\]
Деление на НОД числителя и знаменателя
Наибольший общий делитель (НОД) — это наибольшее число, на которое делятся оба данных числа. Рассмотрим пример сокращения дроби:
\[\frac{24}{48}\]
Шаг 1. Найдите НОД числителя и знаменателя дроби.
- Делители числа 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
- Делители числа 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
- Наибольший общий делитель (НОД) для чисел 24 и 48 — это 24.
Шаг 2. Разделите числитель и знаменатель на НОД
\[\frac{24}{48}=\frac12\]
Разложение на простые множители
Разложить на простые множители — значит записать число в виде произведения простых чисел. Простое число — это натуральное число, которое имеет только два делителя: 1 и само себя.
Ниже приведены шаги для сокращения дроби с помощью разложения на простые множители. Рассмотрим пример дроби:
\[\frac{12}{54}\]
Шаг 1. Разложите числитель и знаменатель дроби на простые множители.
- Числитель 12 можно записать как
2 × 2 × 3. - Знаменатель 54 можно записать как
2 × 3 × 3 × 3.
Шаг 2. Вычеркните общие множители в числителе и знаменателе:
\[\frac{2\times2\times3}{2\times3\times3\times3}=\frac2{3\times3}\]
Шаг 3. Записать полученную дробь.
\[\frac29\]
Какие дроби не сокращают?
Не каждую дробь можно сократить. В математике существуют так называемые несократимые дроби.
Несократимая дробь — это дробь, числитель и знаменатель которой являются взаимно простыми числами. Это значит, что наибольший общий делитель числителя и знаменателя такой дроби равен 1.
Чтобы распознать несократимую дробь, помните:
- НОД числителя и знаменателя такой дроби равен 1.
- Дроби с числителем 1 всегда несократимы.
Примеры несократимых дробей:
\[\frac12,\;\frac37,\;\frac7{11},\;\frac{19}{31}\]
Вывод
Научиться сокращать дроби — это базовый навык, который упрощает дальнейшие математические вычисления. Если вашему ребенку нужно лучше разобраться в этой теме или других математических понятиях, обращайтесь к репетитору по математике для 6 класса. Специалист поможет закрепить знания и уверенно применять их на практике.
