В этой статье образовательная платформа Mathema расскажет, что такое наибольший общий делитель (НОД) и как его легко найти с помощью алгоритма Евклида. Также в статье представлены задания на поиск наибольшего общего делителя.
Що таке найбільший спільний дільник (НСД)?
Наибольший общий делитель (НОД) двух или более чисел — это наибольшее число, которое делит каждое из этих чисел без остатка. Другими словами, это наибольшее число, на которое могут делиться все эти числа одновременно.
Пример: Рассмотрим числа 55 и 132. Наибольший общий делитель для этих чисел — это 11, так как:
- 55 делится на 11 (55 ÷ 11 = 5)
- 132 делится на 11 (132 ÷ 11 = 12)
Следовательно, НОД для чисел 55 и 132 равен 11.
Как найти наибольший общий делитель (НОД)?
Существует несколько способов найти НОД. Рассмотрим пример с числами 35 и 133.
Выпишем числа, на которые делится первое число:
- Для 35: 1, 5, 7, 35
- Для 133: 1, 7, 19, 133.
- НОД = 7
В этом примере видно, что оба числа делятся на 7 и на 1. Наибольший общий делитель — 7.
Разложение на простые множители
Это другой способ, который приведёт к тому же результату:
- 35 = 5 · 7
- 133 = 7 · 19
- НСД = 7
Рассмотрим немного более сложный пример и попробуем решить его разложением на простые множители. Возьмем числа 154 и 396.
- 154 = 14 · 11 = 2 · 7 · 11
- 396 = 4 · 9 · 11 = 2 · 2 · 3 · 3 · 11
- НСД (154 ; 396) = 2 · 11 = 22
Если наибольший общий делитель для обоих чисел 1, то такие числа называются взаимно простыми. Больше об этом читайте в нашей статье “Что такое простые числа?“.
Шукаєш репетитора з математики?
Mathema підбере викладача під потреби дитини
Что такое алгоритм Евклида?
Алгоритм Евклида — это простой способ найти наибольший общий делитель (НОД) двух чисел. Вот как это делается:
- Возьмем два числа, например, 48 і 18. Начнем с большего числа.
- Разделим большее число на меньшее и найдем остаток. Для 48 и 18 остаток будет 12 (48 = 18 · 2 + 12).
- Теперь повторим процесс: разделим 18 на 12. Остаток будет 6 (18 = 12 · 1 + 6).
- Продолжаем делить, пока остаток не станет равен 0. Последнее число, на которое мы разделим без остатка, и будет НОД.
- В нашем случае 12 делится на 6 без остатка, и остаток равен 0.
- Поэтому НОД — это 6.
Таким образом, по алгоритму Евклида мы просто делим числа друг на друга, пока не получаем остаток 0.
Алгоритм Евклида был придуман очень давно, более 2000 лет назад. Его описал греческий математик Евклид в своей книге “Начала” примерно в 300 году до нашей эры. Это один из старейших математических методов, который до сих пор используется. Евклид разработал этот алгоритм для изучения свойств чисел. Даже сегодня этот метод остается важным в математике и компьютерных науках.
Задачи на поиск НОД
Вот пять задач на поиск наибольшего общего делителя. Попробуйте решить их разными методами, а также найдите среди этих чисел взаимно простые.
- Найдите НОД чисел 56 і 98.
- Найдите НОД чисел 105 і 252.
- Найдите НОД чисел 144 і 60.
- Найдите НОД чисел 81 і 153.
- Найдите НОД чисел 72 і 120.
