Формулы сокращенного умножения — это набор математических уравнений, которые позволяют значительно упростить вычисление выражений. Эту тему изучают в 7 классе на уроках алгебры. Формулы сокращенного умножения особенно полезны при решении уравнений, упрощении выражений и факторизации.
Если ты их освоишь, то сможешь быстрее и легче решать многие задачи по математике. Рассмотрим основные формулы сокращенного умножения и как ими пользоваться:
Все формулы сокращенного умножения
\[{(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2\] \[{(a-b)}^2=a^2-2ab+b^2\] \[a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\] \[{(a+b)}^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\] \[{(a-b)}^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\] \[a^3+b^3=(a+b)\left(a^2-ab+b^2\right)\] \[a^3-b^3=(a-b)\left(a^2+ab+b^2\right)\]
Как использовать формулы сокращенного умножения: примеры
Теперь рассмотрим каждую формулу и как её применяют при решении выражений.
Квадрат суммы двух чисел
Эта формула помогает возвести в квадрат сумму двух выражений:
\[{(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2\]Предположим, у нас есть сумма (a + b), и мы хотим её возвести в квадрат. Согласно формуле, нужно сначала возвести каждый элемент в квадрат: a² і b². Затем к ним добавляется удвоенное произведение обоих элементов: 2ab.
Это выглядит так:
- Квадрат первого элемента: a²
- Удвоенное произведение: 2ab
- Квадрат второго элемента: b²
Например, возводим в квадрат выражение (3 + 4)²:
(3 + 4)² = 3² + 2 · 3 · 4 + 4² = 9 + 24 + 16 = 49
Квадрат разности двух чисел
Эта формула аналогична предыдущей, но относится к разности двух выражений:
\[{(a-b)}^2=a^2-2ab+b^2\]Как и в предыдущем случае, возводим каждый элемент в квадрат, но теперь вместо сложения у нас вычитание. Удвоенное произведение будет со знаком минус:
- Квадрат первого элемента: a²
- Вычтенный удвоенный произведение: -2ab
- Квадрат второго элемента: b²
Пример для выражения (5 – 2)²:
(5 – 2)² = 5² – 2 · 5 · 2 + 2² = 25 – 20 + 4 = 9
Разность квадратов
Эта формула позволяет быстро найти разность квадратов двух чисел:
\[a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\]Разность квадратов двух чисел всегда равна произведению их суммы и разности. Эта формула полезна, когда вы видите разницу квадратов и хотите ее факторизировать.
Пример:
9² – 4² = (9 – 4)(9 + 4) = 5 · 13 = 65
Куб суммы двух чисел
Эта формула позволяет вычислить куб суммы двух чисел:
\[{(a+b)}^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\]Куб суммы состоит из нескольких слагаемых:
- Куб первого элемента: a³
- Удвоенное произведение квадрата одного элемента на другой: 3a²b і 3ab²
- Куб второго элемента: b³
Пример:
(2 + 1)³ = 2³ + 3 · 2² · 1 + 3 · 2 · 1² + 1³ = 8 + 12 + 6 + 1 = 27
Куб разности двух чисел
Если нужно возвести в куб разность двух чисел, используем такую формулу:
\[{(a-b)}^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\]Здесь принцип аналогичен кубу суммы, но с некоторыми изменениями знаков:
- Куб первого элемента: a³
- Вычтенный удвоенный произведение квадрата первого элемента на второй: -3a²b
- Добавленный удвоенный произведение первого элемента и квадрата второго: 3ab²
- Вычтенный куб второго элемента: -b³
Пример:
(3 – 2)³ = 3³ – 3 · 3² · 2 + 3 · 3 · 2² – 2³ = 27 – 54 + 36 – 8 = 1
Вывод
Формулы сокращенного умножения — это мощный инструмент для упрощения математических вычислений. Если ты их запомнишь и научишься применять, многие задачи станут для тебя намного проще.
