Дискриминант — это число, которое помогает определить, сколько решений (корней) имеет квадратное уравнение и являются ли эти решения действительными или комплексными.
В этой статье вы узнаете все о дискриминанте: формулу дискриминанта, что означает, если дискриминант равен нулю, больше или меньше нуля. Также статья расскажет, как выглядит дискриминант квадратного уравнения и как его найти.
Формула дискриминанта
Дискриминант — это выражение, которое используется в алгебре для анализа квадратных уравнений. В частности, дискриминант применяется для определения количества и природы корней квадратного уравнения.
Вот как может выглядеть такое уравнение:
\[ax^2+bx+c=0\]
Формула дискриминанта выглядит так:
Если дискриминант равен нулю, больше или меньше нуля
Значение дискриминанта позволяет определить количество корней уравнения:
- Если дискриминант больше 0 (D > 0), уравнение имеет два различных действительных корня.
- Если дискриминант равен 0 (D = 0), уравнение имеет один действительный корень.
- Если дискриминант меньше нуля (D < 0), уравнение не имеет действительных корней.
Как найти дискриминант, пример решения
Дискриминант используется для решения квадратных уравнений. Решим квадратное уравнение:
\[2x^2-4x+1=0\]Коэффициенты здесь такие: a = 2, b = 4, c = 1. Теперь вычислим дискриминант:
\[d\;=\;{(-4)}^2\;-4\cdot2\cdot1\;=\;16-8=8\]Поскольку дискриминант больше нуля, это означает, что уравнение имеет два разных действительных корня. Далее найдём эти корни по формуле и решим квадратное уравнение до конца.
Итоги
Дискриминант показывает, насколько далеко друг от друга находятся корни квадратного уравнения, если они существуют. Чем больше дискриминант, тем больше расстояние между корнями. Количество корней определяется этим простым фактом.
Все становится очевидным, когда понимаешь связь между дискриминантом и количеством корней: если дискриминант равен нулю, корни совпадают, то есть они накладываются друг на друга, образуя один корень. Расстояние между корнями не может быть меньше нуля, поэтому при отрицательном дискриминанте корней нет. Если дискриминант положительный, то корней два, и расстояние между ними равно корню из дискриминанта.
Это интуитивно понятно и не требует дополнительного заучивания. Более того, понимание геометрического смысла дискриминанта помогает легче и быстрее находить сами корни.
Обычно ученики действуют по такому плану:
- Определяют коэффициенты уравнения.
- Подставляют эти значения в формулу дискриминанта и вычисляют его.
- Извлекают квадратный корень из дискриминанта.
- Записывают формулу для нахождения корней и поочередно вычисляют каждый из них.
Шаг 4 можно упростить: сначала находят меньший корень, а затем для большего просто добавляют корень из дискриминанта, который уже рассчитан на третьем шаге.
(Если уравнение не приведено к стандартному виду, не забудьте разделить корень из дискриминанта на старший коэффициент).
В заключение: понимание геометрического смысла дискриминанта позволяет лучше представить взаимосвязь корней и коэффициентов уравнения, упростить вычисления и сократить объем материала, который нужно запомнить.
