{"id":175603,"date":"2024-09-13T10:38:35","date_gmt":"2024-09-13T07:38:35","guid":{"rendered":"https:\/\/mathema.me\/?p=175603"},"modified":"2024-09-25T18:23:39","modified_gmt":"2024-09-25T15:23:39","slug":"formuly-skroconego-mnozenia-wyjasnienie-i-zastosowanie","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathema.me\/pl\/blog\/formuly-skroconego-mnozenia-wyjasnienie-i-zastosowanie\/","title":{"rendered":"Formu\u0142y skr\u00f3conego mno\u017cenia: wyja\u015bnienie i zastosowanie"},"content":{"rendered":"\n

Formu\u0142y skr\u00f3conego mno\u017cenia to zestaw r\u00f3wna\u0144 matematycznych, kt\u00f3re pozwalaj\u0105 znacznie upro\u015bci\u0107 obliczanie wyra\u017ce\u0144. Temat ten omawia si\u0119 w 7 klasie na lekcjach algebry. Formu\u0142y skr\u00f3conego mno\u017cenia s\u0105 szczeg\u00f3lnie przydatne przy rozwi\u0105zywaniu r\u00f3wna\u0144, upraszczaniu wyra\u017ce\u0144 oraz rozk\u0142adaniu ich na czynniki.<\/p>\n\n\n\n

Opanowanie tych formu\u0142 pozwoli Ci szybciej i \u0142atwiej rozwi\u0105zywa\u0107 wiele zada\u0144 z matematyki. Przyjrzyjmy si\u0119 podstawowym formu\u0142om skr\u00f3conego mno\u017cenia i sposobom ich wykorzystania:<\/p>\n\n\n\n

Wszystkie formu\u0142y skr\u00f3conego mno\u017cenia<\/h2>\n\n\n\n
\n\n\n\\[{(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2\\]\n\n\n\\[{(a-b)}^2=a^2-2ab+b^2\\]\n\n\n\\[a^2-b^2=\\left(a-b\\right)\\left(a+b\\right)\\]\n\n\n\\[{(a+b)}^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\\]\n\n\n\\[{(a-b)}^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\\]\n\n\n\\[a^3+b^3=(a+b)\\left(a^2-ab+b^2\\right)\\]\n\n\n\\[a^3-b^3=(a-b)\\left(a^2+ab+b^2\\right)\\]\n\n\n\n
\n\n\n\n

Jak u\u017cywa\u0107 formu\u0142 skr\u00f3conego mno\u017cenia: przyk\u0142ady<\/h2>\n\n\n\n

Teraz om\u00f3wimy ka\u017cd\u0105 formu\u0142\u0119 i spos\u00f3b jej zastosowania przy rozwi\u0105zywaniu wyra\u017ce\u0144.<\/p>\n\n\n\n

Kwadrat sumy dw\u00f3ch liczb<\/h3>\n\n\n\n

Ta formu\u0142a pomaga podnie\u015b\u0107 do kwadratu sum\u0119 dw\u00f3ch wyra\u017ce\u0144:<\/p>\n\n\n\\[{(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2\\]\n\n\n\n

Za\u0142\u00f3\u017cmy, \u017ce mamy sum\u0119 (a + b) i chcemy podnie\u015b\u0107 j\u0105 do kwadratu. Zgodnie z formu\u0142\u0105, najpierw podnosimy ka\u017cdy sk\u0142adnik do kwadratu: a\u00b2 i b\u00b2. Nast\u0119pnie dodajemy podwojony iloczyn obu sk\u0142adnik\u00f3w: 2ab.<\/p>\n\n\n\n

Wygl\u0105da to tak:<\/p>\n\n\n\n

Kwadrat pierwszego sk\u0142adnika: a\u00b2<\/p>\n\n\n\n

Podwojony iloczyn: 2ab<\/p>\n\n\n\n

Kwadrat drugiego sk\u0142adnika: b\u00b2<\/p>\n\n\n\n

Przyk\u0142ad: Podnosimy do kwadratu wyra\u017cenie (3 + 4)\u00b2:<\/p>\n\n\n\n

(3 + 4)\u00b2 = 3\u00b2 + 2 \u00b7 3 \u00b7 4 + 4\u00b2 = 9 + 24 + 16 = 49<\/p>\n\n\n\n

Kwadrat r\u00f3\u017cnicy dw\u00f3ch liczb<\/h3>\n\n\n\n

Ta formu\u0142a jest podobna do poprzedniej, ale dotyczy r\u00f3\u017cnicy dw\u00f3ch wyra\u017ce\u0144:<\/p>\n\n\n\\[{(a-b)}^2=a^2-2ab+b^2\\]\n\n\n\n

Tak jak w poprzednim przypadku, podnosimy ka\u017cdy sk\u0142adnik do kwadratu, ale zamiast dodawania, mamy odejmowanie. Podwojony iloczyn jest z ujemnym znakiem:<\/p>\n\n\n\n

Kwadrat pierwszego sk\u0142adnika: a\u00b2<\/p>\n\n\n\n

Odejmuje si\u0119 podwojony iloczyn: -2ab<\/p>\n\n\n\n

Kwadrat drugiego sk\u0142adnika: b\u00b2<\/p>\n\n\n\n

Przyk\u0142ad dla wyra\u017cenia (5 – 2)\u00b2:<\/p>\n\n\n\n

(5 – 2)\u00b2 = 5\u00b2 – 2 \u00b7 5 \u00b7 2 + 2\u00b2 = 25 – 20 + 4 = 9<\/p>\n\n\n\n

R\u00f3\u017cnica kwadrat\u00f3w<\/h3>\n\n\n\n

Ta formu\u0142a pozwala szybko znale\u017a\u0107 r\u00f3\u017cnic\u0119 kwadrat\u00f3w dw\u00f3ch liczb:<\/p>\n\n\n\\[a^2-b^2=\\left(a-b\\right)\\left(a+b\\right)\\]\n\n\n\n

R\u00f3\u017cnica kwadrat\u00f3w dw\u00f3ch liczb zawsze r\u00f3wna si\u0119 iloczynowi ich sumy i r\u00f3\u017cnicy. Ta formu\u0142a jest przydatna, gdy widzisz r\u00f3\u017cnic\u0119 kwadrat\u00f3w i chcesz j\u0105 roz\u0142o\u017cy\u0107 na czynniki.<\/p>\n\n\n\n

Przyk\u0142ad:<\/p>\n\n\n\n

9\u00b2 – 4\u00b2 = (9 – 4)(9 + 4) = 5 \u00b7 13 = 65<\/p>\n\n\n\n

Sze\u015bcian sumy dw\u00f3ch liczb<\/h3>\n\n\n\n

Ta formu\u0142a pozwala obliczy\u0107 sze\u015bcian sumy dw\u00f3ch liczb:<\/p>\n\n\n\\[{(a+b)}^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\\]\n\n\n\n

Sze\u015bcian sumy sk\u0142ada si\u0119 z kilku sk\u0142adnik\u00f3w:<\/p>\n\n\n\n

Sze\u015bcian pierwszego sk\u0142adnika: a\u00b3<\/p>\n\n\n\n

Potr\u00f3jny iloczyn kwadratu jednego sk\u0142adnika i drugiego: 3a\u00b2b oraz 3ab\u00b2<\/p>\n\n\n\n

Sze\u015bcian drugiego sk\u0142adnika: b\u00b3<\/p>\n\n\n\n

Przyk\u0142ad:<\/p>\n\n\n\n

(2 + 1)\u00b3 = 2\u00b3 + 3 \u00b7 2\u00b2 \u00b7 1 + 3 \u00b7 2 \u00b7 1\u00b2 + 1\u00b3 = 8 + 12 + 6 + 1 = 27<\/p>\n\n\n\n

Sze\u015bcian r\u00f3\u017cnicy dw\u00f3ch liczb<\/h3>\n\n\n\n

Aby podnie\u015b\u0107 do sze\u015bcianu r\u00f3\u017cnic\u0119 dw\u00f3ch liczb, u\u017cywamy tej formu\u0142y:<\/p>\n\n\n\\[{(a-b)}^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\\]\n\n\n\n

Zasada jest podobna do sze\u015bcianu sumy, ale niekt\u00f3re znaki si\u0119 zmieniaj\u0105:<\/p>\n\n\n\n

Sze\u015bcian pierwszego sk\u0142adnika: a\u00b3<\/p>\n\n\n\n

Odejmujemy potr\u00f3jny iloczyn kwadratu pierwszego sk\u0142adnika i drugiego: -3a\u00b2b<\/p>\n\n\n\n

Dodajemy potr\u00f3jny iloczyn pierwszego sk\u0142adnika i kwadratu drugiego: 3ab\u00b2<\/p>\n\n\n\n

Odejmujemy sze\u015bcian drugiego sk\u0142adnika: -b\u00b3<\/p>\n\n\n\n

Przyk\u0142ad:<\/p>\n\n\n\n

(3 – 2)\u00b3 = 3\u00b3 – 3 \u00b7 3\u00b2 \u00b7 2 + 3 \u00b7 3 \u00b7 2\u00b2 – 2\u00b3 = 27 – 54 + 36 – 8 = 1<\/p>\n\n\n\n

Podsumowanie<\/h2>\n\n\n\n

Formu\u0142y skr\u00f3conego mno\u017cenia to pot\u0119\u017cne narz\u0119dzie do upraszczania oblicze\u0144 matematycznych. Je\u015bli je zapami\u0119tasz i nauczysz si\u0119 ich stosowania, wiele zada\u0144 stanie si\u0119 znacznie \u0142atwiejszych.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Formu\u0142y skr\u00f3conego mno\u017cenia to zestaw r\u00f3wna\u0144 matematycznych, kt\u00f3re pozwalaj\u0105 znacznie upro\u015bci\u0107 obliczanie wyra\u017ce\u0144. Temat ten omawia si\u0119 w 7 klasie […]<\/p>\n","protected":false},"author":15,"featured_media":175313,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_wpcom_ai_launchpad_first_post":false,"_jetpack_feature_clip_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":"","jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[37,3380],"tags":[],"class_list":["post-175603","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-blog","category-algebra-pl"],"acf":[],"jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_featured_media_url":"https:\/\/i0.wp.com\/mathema.me\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/post-cover-4-8.jpg?fit=1082%2C675&ssl=1","_links":{"self":[{"href":"https:\/\/mathema.me\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/175603","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/mathema.me\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/mathema.me\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mathema.me\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/15"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mathema.me\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=175603"}],"version-history":[{"count":5,"href":"https:\/\/mathema.me\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/175603\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":175881,"href":"https:\/\/mathema.me\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/175603\/revisions\/175881"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mathema.me\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/media\/175313"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/mathema.me\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=175603"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/mathema.me\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=175603"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/mathema.me\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=175603"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}