{"id":145769,"date":"2024-07-26T12:58:30","date_gmt":"2024-07-26T09:58:30","guid":{"rendered":"https:\/\/mathema.me\/?p=145769"},"modified":"2024-09-25T18:55:38","modified_gmt":"2024-09-25T15:55:38","slug":"jak-znalezc-najwiekszy-wspolny-dzielnik","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathema.me\/pl\/blog\/jak-znalezc-najwiekszy-wspolny-dzielnik\/","title":{"rendered":"Jak znale\u017a\u0107 najwi\u0119kszy wsp\u00f3lny dzielnik? Algorytm Euklidesa"},"content":{"rendered":"\n<p>W tym artykule platforma edukacyjna Mathema wyja\u015bni, czym jest najwi\u0119kszy wsp\u00f3lny dzielnik (NWD) i jak \u0142atwo go znale\u017a\u0107 za pomoc\u0105 algorytmu Euklidesa. Znajdziesz tu r\u00f3wnie\u017c zadania dotycz\u0105ce znajdowania najwi\u0119kszego wsp\u00f3lnego dzielnika.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Co to jest najwi\u0119kszy wsp\u00f3lny dzielnik (NWD)?<\/h2>\n\n\n\n<p>Najwi\u0119kszy wsp\u00f3lny dzielnik (NWD) dw\u00f3ch lub wi\u0119cej liczb to najwi\u0119ksza liczba, kt\u00f3ra dzieli ka\u017cd\u0105 z tych liczb bez reszty. Innymi s\u0142owy, jest to najwi\u0119ksza liczba, na kt\u00f3r\u0105 mog\u0105 dzieli\u0107 si\u0119 wszystkie te liczby jednocze\u015bnie.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Przyk\u0142ad:<\/strong> Rozwa\u017cmy liczby 55 i 132. Najwi\u0119kszym wsp\u00f3lnym dzielnikiem tych liczb jest 11, poniewa\u017c:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>55 dzieli si\u0119 przez 11 (55 \u00f7 11 = 5)<\/li>\n\n\n\n<li>132 dzieli si\u0119 przez 11 (132 \u00f7 11 = 12)<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Zatem NWD dla liczb 55 i 132 wynosi 11.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Jak znale\u017a\u0107 najwi\u0119kszy wsp\u00f3lny dzielnik (NWD)?<\/h2>\n\n\n\n<p>Oto kilka sposob\u00f3w na znalezienie NWD. Przeanalizujmy na przyk\u0142adzie liczb 35 i 133.<\/p>\n\n\n\n<p>Wypisz liczby, przez kt\u00f3re dzieli si\u0119 pierwsza liczba:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Dla 35: 1, 5, 7, 35<\/li>\n\n\n\n<li><span style=\"font-size: revert; color: initial; font-family: -apple-system, BlinkMacSystemFont, &quot;Segoe UI&quot;, Roboto, Oxygen-Sans, Ubuntu, Cantarell, &quot;Helvetica Neue&quot;, sans-serif;\">Dla 133: 1, 7, 19, 133<\/span><\/li>\n\n\n\n<li>NWD = 7<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>W tym przypadku widzimy, \u017ce obie liczby dziel\u0105 si\u0119 przez 7 i 1. 7 jest najwi\u0119kszym wsp\u00f3lnym dzielnikiem.<\/p>\n\n\n\n<p>Roz\u0142\u00f3\u017c liczby na czynniki pierwsze:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li><span style=\"font-size: revert; color: initial; font-family: -apple-system, BlinkMacSystemFont, &quot;Segoe UI&quot;, Roboto, Oxygen-Sans, Ubuntu, Cantarell, &quot;Helvetica Neue&quot;, sans-serif;\">35 = 5 \u00b7 7<\/span><\/li>\n\n\n\n<li><span style=\"font-size: revert; color: initial; font-family: -apple-system, BlinkMacSystemFont, &quot;Segoe UI&quot;, Roboto, Oxygen-Sans, Ubuntu, Cantarell, &quot;Helvetica Neue&quot;, sans-serif;\">133 = 7 \u00b7 19<\/span><\/li>\n\n\n\n<li><span style=\"font-size: revert; color: initial; font-family: -apple-system, BlinkMacSystemFont, &quot;Segoe UI&quot;, Roboto, Oxygen-Sans, Ubuntu, Cantarell, &quot;Helvetica Neue&quot;, sans-serif;\">NWD = 7<\/span><\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Wybierzmy bardziej skomplikowany przyk\u0142ad i spr\u00f3bujmy go rozwi\u0105za\u0107 rozk\u0142adaj\u0105c na czynniki pierwsze. We\u017amy liczby 154 i 396.<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li><span style=\"background-color: rgba(0, 0, 0, 0.2); font-size: revert; color: initial; font-family: -apple-system, BlinkMacSystemFont, &quot;Segoe UI&quot;, Roboto, Oxygen-Sans, Ubuntu, Cantarell, &quot;Helvetica Neue&quot;, sans-serif;\">154 = 14 \u00b7 11 = 2 \u00b7 7 \u00b7 11<\/span><\/li>\n\n\n\n<li><span style=\"background-color: rgba(0, 0, 0, 0.2); font-size: revert; color: initial; font-family: -apple-system, BlinkMacSystemFont, &quot;Segoe UI&quot;, Roboto, Oxygen-Sans, Ubuntu, Cantarell, &quot;Helvetica Neue&quot;, sans-serif;\">396 = 4 \u00b7 9 \u00b7 11 = 2 \u00b7 2 \u00b7 3 \u00b7 3 \u00b7 11<\/span><\/li>\n\n\n\n<li>NWD (154 i 396) = 2 \u00b7 11 = 22<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Je\u015bli najwi\u0119kszym wsp\u00f3lnym dzielnikiem dla obu liczb jest 1, to takie liczby nazywamy wzgl\u0119dnie pierwszymi.<\/p>\n\n\n\n<ol class=\"wp-block-list\"><\/ol>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Co to jest algorytm Euklidesa?<\/h2>\n\n\n\n<p>Algorytm Euklidesa to prosty spos\u00f3b na znalezienie najwi\u0119kszego wsp\u00f3lnego dzielnika (NWD) dw\u00f3ch liczb. Oto jak to si\u0119 robi:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>We\u017amy dwie liczby, na przyk\u0142ad 48 i 18. Zacznijmy od wi\u0119kszej liczby.<\/li>\n\n\n\n<li>Podziel wi\u0119ksz\u0105 liczb\u0119 przez mniejsz\u0105 i znajd\u017a reszt\u0119. Dla 48 i 18 reszta wynosi 12 (48 = 18 \u00b7 2 + 12).<\/li>\n\n\n\n<li>Powt\u00f3rz proces: podziel 18 przez 12. Reszta wynosi 6 (18 = 12 \u00b7 1 + 6).<\/li>\n\n\n\n<li>Kontynuuj dzielenie, a\u017c reszta b\u0119dzie r\u00f3wna 0. <\/li>\n\n\n\n<li>Ostatnia liczba, przez kt\u00f3r\u0105 dzielili\u015bmy bez reszty, jest NWD.<\/li>\n\n\n\n<li>W naszym przypadku 12 dzieli si\u0119 przez 6 bez reszty, a reszta wynosi 0. <\/li>\n\n\n\n<li>Zatem NWD wynosi 6.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Algorytm Euklidesa polega na dzieleniu liczb jedna przez drug\u0105, a\u017c uzyskamy reszt\u0119 r\u00f3wn\u0105 0.<\/p>\n\n\n\n<p>Algorytm Euklidesa zosta\u0142 wymy\u015blony ponad 2000 lat temu przez greckiego matematyka Euklidesa i opisany w jego ksi\u0105\u017cce &#8222;Elementy&#8221; oko\u0142o 300 roku p.n.e. Jest to jedna z najstarszych metod matematycznych, kt\u00f3ra nadal jest stosowana. Euklides opracowa\u0142 ten algorytm do badania w\u0142a\u015bciwo\u015bci liczb. Nawet dzi\u015b metoda ta pozostaje wa\u017cna w matematyce i informatyce.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Zadania na znajdowanie NWD<\/h3>\n\n\n\n<p>Oto pi\u0119\u0107 zada\u0144 dotycz\u0105cych znajdowania najwi\u0119kszego wsp\u00f3lnego dzielnika. Spr\u00f3buj rozwi\u0105za\u0107 je r\u00f3\u017cnymi metodami oraz znale\u017a\u0107 w\u015br\u00f3d tych liczb liczby wzgl\u0119dnie pierwsze.<\/p>\n\n\n\n<ol class=\"wp-block-list\">\n<li>Znajd\u017a NWD liczb 56 i 98.<\/li>\n\n\n\n<li>Znajd\u017a NWD liczb 105 i 252.<\/li>\n\n\n\n<li>Znajd\u017a NWD liczb 144 i 60.<\/li>\n\n\n\n<li>Znajd\u017a NWD liczb 81 i 153.<\/li>\n\n\n\n<li>Znajd\u017a NWD liczb 72 i 120.<\/li>\n<\/ol>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>W tym artykule platforma edukacyjna Mathema wyja\u015bni, czym jest najwi\u0119kszy wsp\u00f3lny dzielnik (NWD) i jak \u0142atwo go znale\u017a\u0107 za pomoc\u0105 [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":15,"featured_media":135352,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"_glsr_average":0,"_glsr_ranking":0,"_glsr_reviews":0,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[37,3384],"tags":[],"class_list":["post-145769","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-blog","category-szkola-srednia"],"acf":[],"jetpack_featured_media_url":"https:\/\/i0.wp.com\/mathema.me\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/post-cover-2-1.jpg?fit=1082%2C675&ssl=1","jetpack_sharing_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/mathema.me\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/145769","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/mathema.me\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/mathema.me\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mathema.me\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/15"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mathema.me\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=145769"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/mathema.me\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/145769\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":178181,"href":"https:\/\/mathema.me\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/145769\/revisions\/178181"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mathema.me\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/media\/135352"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/mathema.me\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=145769"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/mathema.me\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=145769"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/mathema.me\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=145769"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}