W tym artykule edukacyjna platforma Mathema przyst\u0119pnie wyja\u015bnia, czym jest twierdzenie Viete\u2019a dla zredukowanego r\u00f3wnania kwadratowego, odwrotne twierdzenie Viete\u2019a, opowiada o wzorach twierdzenia Viete\u2019a oraz ich zastosowaniu do zredukowanego r\u00f3wnania kwadratowego. Artyku\u0142 jest przeznaczony dla uczni\u00f3w klasy \u00f3smej oraz ich rodzic\u00f3w.<\/p>\n\n\n\n
S\u0105 to wzory, kt\u00f3re wyra\u017caj\u0105 wsp\u00f3\u0142czynniki wielomianu przez jego pierwiastki. Twierdzenie nazwano na cze\u015b\u0107 Fran\u00e7ois Vi\u00e8te\u2019a, francuskiego matematyka. Zwykle za pomoc\u0105 twierdzenia Viete\u2019a rozwi\u0105zuje si\u0119 zredukowane r\u00f3wnania kwadratowe, czyli je\u015bli wsp\u00f3\u0142czynnik a=1. Oto sformu\u0142owanie twierdzenia Viete\u2019a dla zredukowanego r\u00f3wnania kwadratowego:<\/p>\n\n\n\n
Suma pierwiastk\u00f3w zredukowanego r\u00f3wnania kwadratowego r\u00f3wna si\u0119 drugiemu wsp\u00f3\u0142czynnikowi z przeciwnym znakiem, a iloczyn pierwiastk\u00f3w r\u00f3wna si\u0119 wyrazowi wolnemu.<\/em><\/p>\n\n\n\n Oto jak wygl\u0105da formu\u0142a twierdzenia Viete\u2019a dla zredukowanego r\u00f3wnania kwadratowego:<\/p>\n\n\n\\[x^2+px+q=0,;wtedy;x_1\\cdot x_2=q;;x_1+x_2=-p\\]\n\n\n\n Taka formu\u0142a twierdzenia Viete\u2019a pozwala, nie znaj\u0105c pierwiastk\u00f3w tr\u00f3jmianu kwadratowego, obliczy\u0107 ich sum\u0119 oraz iloczyn.<\/p>\n\n\n\n Przyjrzyjmy si\u0119 twierdzeniu Viete\u2019a oraz formule twierdzenia Viete\u2019a na prostym przyk\u0142adzie. Pozwoli to zrozumie\u0107, jak prawid\u0142owo rozwi\u0105zywa\u0107 zredukowane r\u00f3wnania kwadratowe z jego pomoc\u0105.<\/p>\n\n\n\n Znajd\u017a pierwiastki r\u00f3wnania, u\u017cywaj\u0105c twierdzenia Viete\u2019a.<\/p>\n\n\n\\[x^2-5x+6=0\\]\n\n\n\n Rozwi\u0105zanie: <\/strong>Zgodnie z twierdzeniem Viete\u2019a zapiszemy:<\/p>\n\n\n\\[x_1+x_2=5\\]\n\n\n\\[x_1\\cdot x_2=6\\]\n\n\n\n Dobieramy warto\u015bci \ud835\udc65, kt\u00f3re spe\u0142niaj\u0105 r\u00f3wno\u015b\u0107:<\/p>\n\n\n\\[x_1=;2;;x_2=3\\]\n\n\n\n Odpowied\u017a:<\/strong> pierwiastki r\u00f3wnania to 2 oraz 3.<\/p>\n\n\n\n Poj\u0119cie odwrotnego twierdzenia Viete\u2019a m\u00f3wi samo za siebie, gdy\u017c dzia\u0142a dok\u0142adnie odwrotnie. Za pomoc\u0105 twierdzenia, odwrotnego do twierdzenia Viete\u2019a, mo\u017cna dobiera\u0107 pierwiastki zredukowanych r\u00f3wna\u0144 kwadratowych.<\/p>\n\n\n\n Je\u015bli pewne dwie liczby takie, \u017ce ich suma r\u00f3wna si\u0119 drugiemu wsp\u00f3\u0142czynnikowi zredukowanego r\u00f3wnania kwadratowego, wzi\u0119temu z przeciwnym znakiem, a ich iloczyn r\u00f3wna si\u0119 jego wyrazowi wolnemu, to dane liczby s\u0105 pierwiastkami tego zredukowanego r\u00f3wnania kwadratowego.<\/em><\/p>\n\n\n\n Zadanie: <\/strong>U\u0142\u00f3\u017c r\u00f3wnanie kwadratowe, znaj\u0105c jego pierwiastki.<\/p>\n\n\n\\[x_1=;3;;x_2=-1\\]\n\n\n\n Rozwi\u0105zanie:<\/strong> Niech szukane r\u00f3wnanie kwadratowe ma posta\u0107:<\/p>\n\n\n\\[x^2+px+q=0\\]\n\n\n\n U\u017cywaj\u0105c odwrotnego twierdzenia Viete\u2019a otrzymujemy takie zale\u017cno\u015bci:<\/p>\n\n\n\\[x_1\\cdot x_2=q;;x_1+x_2=-p\\]\n\n\n\n Teraz znajdziemy warto\u015bci \ud835\udc5d oraz \ud835\udc5e<\/p>\n\n\n\\[p=-(x_1+x_2)=-(3+(-1))=-2\\]\n\n\n\\[q=x_1\\cdot x_2;=;3\\cdot(-1)=-3\\]\n\n\n\n Odpowied\u017a: <\/strong>r\u00f3wnanie, kt\u00f3rego szukali\u015bmy wygl\u0105da tak<\/p>\n\n\n\\[x^2-2x-3=0\\]\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" W tym artykule edukacyjna platforma Mathema przyst\u0119pnie wyja\u015bnia, czym jest twierdzenie Viete\u2019a dla zredukowanego r\u00f3wnania kwadratowego, odwrotne twierdzenie Viete\u2019a, opowiada […]<\/p>\n","protected":false},"author":15,"featured_media":61413,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"_glsr_average":0,"_glsr_ranking":0,"_glsr_reviews":0,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[3384,37],"tags":[],"class_list":["post-130562","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-szkola-srednia","category-blog"],"acf":[],"jetpack_featured_media_url":"https:\/\/i0.wp.com\/mathema.me\/wp-content\/uploads\/2024\/02\/post-cover-89.jpg?fit=1080%2C675&ssl=1","jetpack_sharing_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/mathema.me\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/130562","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/mathema.me\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/mathema.me\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mathema.me\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/15"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mathema.me\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=130562"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/mathema.me\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/130562\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":178185,"href":"https:\/\/mathema.me\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/130562\/revisions\/178185"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mathema.me\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/media\/61413"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/mathema.me\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=130562"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/mathema.me\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=130562"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/mathema.me\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=130562"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}Formu\u0142a twierdzenia Viete\u2019a dla zredukowanego r\u00f3wnania kwadratowego<\/h2>\n\n\n\n
Zastosowanie twierdzenia Viete\u2019a<\/h2>\n\n\n\n
Odwrotne twierdzenie Viete\u2019a<\/h2>\n\n\n\n
Jak stosowa\u0107 odwrotne twierdzenie Viete\u2019a<\/h2>\n\n\n\n