W tym artykule edukacyjna platforma Mathema przystępnie wyjaśnia, czym jest twierdzenie Viete’a dla zredukowanego równania kwadratowego, odwrotne twierdzenie Viete’a, opowiada o wzorach twierdzenia Viete’a oraz ich zastosowaniu do zredukowanego równania kwadratowego. Artykuł jest przeznaczony dla uczniów klasy ósmej oraz ich rodziców.
Twierdzenie Viete’a dla zredukowanego równania kwadratowego (a=1)
Są to wzory, które wyrażają współczynniki wielomianu przez jego pierwiastki. Twierdzenie nazwano na cześć François Viète’a, francuskiego matematyka. Zwykle za pomocą twierdzenia Viete’a rozwiązuje się zredukowane równania kwadratowe, czyli jeśli współczynnik a=1. Oto sformułowanie twierdzenia Viete’a dla zredukowanego równania kwadratowego:
Suma pierwiastków zredukowanego równania kwadratowego równa się drugiemu współczynnikowi z przeciwnym znakiem, a iloczyn pierwiastków równa się wyrazowi wolnemu.
Formuła twierdzenia Viete’a dla zredukowanego równania kwadratowego
Oto jak wygląda formuła twierdzenia Viete’a dla zredukowanego równania kwadratowego:
\[x^2+px+q=0,;wtedy;x_1\cdot x_2=q;;x_1+x_2=-p\]Taka formuła twierdzenia Viete’a pozwala, nie znając pierwiastków trójmianu kwadratowego, obliczyć ich sumę oraz iloczyn.
Zastosowanie twierdzenia Viete’a
Przyjrzyjmy się twierdzeniu Viete’a oraz formule twierdzenia Viete’a na prostym przykładzie. Pozwoli to zrozumieć, jak prawidłowo rozwiązywać zredukowane równania kwadratowe z jego pomocą.
Znajdź pierwiastki równania, używając twierdzenia Viete’a.
\[x^2-5x+6=0\]Rozwiązanie: Zgodnie z twierdzeniem Viete’a zapiszemy:
\[x_1+x_2=5\] \[x_1\cdot x_2=6\]Dobieramy wartości 𝑥, które spełniają równość:
\[x_1=;2;;x_2=3\]Odpowiedź: pierwiastki równania to 2 oraz 3.
Odwrotne twierdzenie Viete’a
Pojęcie odwrotnego twierdzenia Viete’a mówi samo za siebie, gdyż działa dokładnie odwrotnie. Za pomocą twierdzenia, odwrotnego do twierdzenia Viete’a, można dobierać pierwiastki zredukowanych równań kwadratowych.
Jeśli pewne dwie liczby takie, że ich suma równa się drugiemu współczynnikowi zredukowanego równania kwadratowego, wziętemu z przeciwnym znakiem, a ich iloczyn równa się jego wyrazowi wolnemu, to dane liczby są pierwiastkami tego zredukowanego równania kwadratowego.
Jak stosować odwrotne twierdzenie Viete’a
Zadanie: Ułóż równanie kwadratowe, znając jego pierwiastki.
\[x_1=;3;;x_2=-1\]Rozwiązanie: Niech szukane równanie kwadratowe ma postać:
\[x^2+px+q=0\]Używając odwrotnego twierdzenia Viete’a otrzymujemy takie zależności:
\[x_1\cdot x_2=q;;x_1+x_2=-p\]Teraz znajdziemy wartości 𝑝 oraz 𝑞
\[p=-(x_1+x_2)=-(3+(-1))=-2\] \[q=x_1\cdot x_2;=;3\cdot(-1)=-3\]Odpowiedź: równanie, którego szukaliśmy wygląda tak
\[x^2-2x-3=0\]
