- 1 Co należy wiedzieć, aby zrozumieć wzory trygonometryczne
- 2 Podstawowe wzory trygonometryczne:
- 2.1 Związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego argumentu
- 2.2 Wzory dodawania
- 2.3 Wzory podwójnego argumentu
- 2.4 Wzory potrójnego argumentu
- 2.5 Formuła obniżania stopnia
- 2.6 Wzory przekształcania iloczynu funkcji trygonometrycznych w sumę
- 2.7 Wzory półargumentu
- 2.8 Tabela trygonometryczna niektórych kątów
- 3 Czym zajmuje się trygonometria?
Podstawy trygonometrii, w tym definicje funkcji i główne tożsamości, zaczyna się uczyć na geometrii w klasie ósmej, kontynuując w dziewiątej. Ta dziedzina matematyki znajduje się na przecięciu algebry i geometrii i jest jednym z najtrudniejszych tematów w programie szkolnym. Największym wyzwaniem jest zapamiętanie dużej liczby wzorów trygonometrycznych. Mathema przygotowała artykuł zawierający podstawowe wzory trygonometryczne, funkcje trygonometryczne kątów, tożsamości trygonometryczne i inne przydatne materiały.
Co należy wiedzieć, aby zrozumieć wzory trygonometryczne
- Trygonometria to dziedzina matematyki, która bada związki między bokami i kątami trójkątów. Na podstawie wzorów trygonometrycznych matematycy mogą obliczać kąty.
- Sinus – w trójkącie prostokątnym sinus ostrego kąta jest określany jako stosunek przeciwprostokątnej do hipotenizy.
- Cosinus – w trójkącie prostokątnym cosinus ostrego kąta jest określany jako stosunek przyprostokątnej do hipotenizy.
- Tangens – to stosunek długości przeciwprostokątnej do długości przyprostokątnej.
- Cotangens – to stosunek długości przyprostokątnej do długości przeciwprostokątnej.
Podstawowe wzory trygonometryczne:
Te wzory będą potrzebne przy rozwiązywaniu trygonometrycznych zadań w programie szkolnym. Tutaj zgromadzone są najbardziej popularne wzory oraz tabela funkcji trygonometrycznych niektórych kątów.
Związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego argumentu
\[\sin^2a+\cos^2a\;=\;1\] \[tg\;a=\frac{\sin\;a}{\cos\;a}\] \[tg\;a\;\cdot ctg\;a\;=\;1\] \[1+tg^2a=\frac1{\cos^{2\;}a}\] \[1+ctg^2a=\frac1{\sin^{2\;}a}\]Wzory dodawania
\[\sin(a\pm b)=\sin a\cdot\cos b\pm\cos a\cdot\sin b\]
\[\cos(a\pm b)=\mathrm{cosa}\cdot\cos b\pm\sin a\cdot\mathrm{sinb}\]
\[tg(a\pm b)=\frac{tg\;a+tg\;b}{1\pm tg\;a\cdot tg\;b},\;a\neq\frac\pi2+\pi n,\;b\neq\frac\pi2+\pi n,\;a\pm b\neq\frac\pi2+\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\]
\[ctg\;(a\;\pm b)\;=\;\frac{ctg\;a\cdot ctg\;b\pm1}{ctg\;a\pm ctg\;b},a\neq\pi n,\;b\neq\pi n,\;a\pm b\neq\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\]
Wzory podwójnego argumentu
\[\sin2a=2\sin a\cdot\cos a\]
\[\cos2a=\cos^2a-\sin^2a\]
\[tg\;2a\;=\;\frac{2tg\;a}{1-\;tg^2a}\]
\[ctg\;2a\;=\;\frac{ctg^2\;a-1}{2tg\;a}\]
Wzory potrójnego argumentu
\[\sin3a=3\sin a-4\sin^3a\] \[\cos3a=4\cos^3a-3\cos a\] \[tg3a=\frac{3tg\;a-tg^3a}{1-3tg^2a}\] \[ctg3a=\frac{3ctg\;a-ctg^3a}{1-3ctg^2a}\]Formuła obniżania stopnia
\[\sin3a=3\sin a-4\sin^3a\] \[\cos3a=4\cos^3a-3\cos a\] \[tg3a=\frac{3tg\;a-tg^3a}{1-3tg^2a}\] \[ctg3a=\frac{3ctg\;a-ctg^3a}{1-3ctg^2a}\]Wzory przekształcania iloczynu funkcji trygonometrycznych w sumę
\[\sin a\cdot\sin b=\frac12(\cos(a-b)-(\cos(a+b))\]
\[\cos a\cdot\cos b=\frac12(\cos(a-b)+(\cos(a+b))\]
\[\sin a\cdot\cos b=\frac12(\sin(a-b)+(\sin(a+b))\]
Wzory półargumentu
\[sina2=±1-cosa2\] \[\cos\frac a2=\pm\sqrt{\frac{1+\cos a}2}\] \[tg\frac a2=\pm\sqrt{\frac{1-\cos a}{1+\cos\;a}}=\frac{\sin a}{1+\cos a},\;a\neq\pi+2\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\] \[tg\frac a2=\frac{1-\cos a}{\sin a},\;a\neq\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\] \[ctg\frac a2=\pm\sqrt{\frac{1+\cos a}{1-\cos a}}=\;\frac{\sin a}{1-\cos a},\;a\neq2\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\] \[ctg\frac a2=\frac{1+\cos a}{\sin a}\;,\;a\neq\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\] \[\sin^2\frac a2=\frac{1-\cos\alpha}2\] \[\cos^2\frac\alpha2=\frac{1+\cos\alpha}2\] \[tg^2\frac\alpha2=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}\] \[сtg^2\frac\alpha2=\frac{1+\cos\alpha}{1-\;\cos\alpha}\]Tabela trygonometryczna niektórych kątów
W tej tabeli zapisane są wartości sinusów, cosinusów, tangensów i cotangensów niektórych kątów, które najczęściej występują w szkolnej trygonometrii. Taką tabelę warto zawsze mieć pod ręką, lub próbować zapamiętać jej wartości. Jest to łatwiejsze niż się wydaje, gdyż niektóre wartości się powtarzają. Na przykład tg 30° równa się ctg 60° i odwrotnie tg 60° równa się ctg 30°.
| t | 0 | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 270° | 360° |
| sin t | 0 | \[\frac12\] | \[\frac{\sqrt2}2\] | \[\frac{\sqrt3}2\] | 1 | 0 | -1 | 0 |
| cos t | 1 | \[\frac{\sqrt3}2\] | \[\frac{\sqrt2}2\] | \[\frac12\] | 0 | -1 | 0 | 1 |
| tg t | 0 | \[\frac{\sqrt3}3\] | 1 | \[\sqrt3\] | – | 0 | – | 0 |
| ctg t | – | \[\sqrt3\] | 1 | \[\frac{\sqrt3}3\] | 0 | – | 0 | – |
Czym zajmuje się trygonometria?
Trygonometria to dziedzina matematyki, która bada związki między kątami a bokami trójkątów. Sama nazwa „trygonometria” pochodzi od greckich słów „tria” (trzy) i „gonia” (kąt). Funkcje trygonometryczne pomagają nam zrozumieć, jak zmieniają się boki trójkąta, gdy zmieniamy jego kąty. Umożliwia to rozwiązywanie różnych zadań, takich jak mierzenie odległości, wysokości budynków, kątów na mapie i wielu innych.
Na przykład, jeśli mamy trójkąt prostokątny i znamy jeden z kątów oraz długość jednego z boków, możemy za pomocą trygonometrii ustalić długość innego boku tego trójkąta.
Trygonometria ma bardzo szerokie zastosowanie w takich naukach jak inżynieria, astronomia, fizyka, grafika komputerowa, medycyna i inne dziedziny nauki. Nauka trygonometrii pomoże ci rozwinąć logiczne myślenie i umiejętności matematyczne oraz znaleźć odpowiedzi na różne pytania dotyczące kątów i boków trójkątów
