Formuły skróconego mnożenia to zestaw równań matematycznych, które pozwalają znacznie uprościć obliczanie wyrażeń. Temat ten omawia się w 7 klasie na lekcjach algebry. Formuły skróconego mnożenia są szczególnie przydatne przy rozwiązywaniu równań, upraszczaniu wyrażeń oraz rozkładaniu ich na czynniki.
Opanowanie tych formuł pozwoli Ci szybciej i łatwiej rozwiązywać wiele zadań z matematyki. Przyjrzyjmy się podstawowym formułom skróconego mnożenia i sposobom ich wykorzystania:
Wszystkie formuły skróconego mnożenia
\[{(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2\] \[{(a-b)}^2=a^2-2ab+b^2\] \[a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\] \[{(a+b)}^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\] \[{(a-b)}^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\] \[a^3+b^3=(a+b)\left(a^2-ab+b^2\right)\] \[a^3-b^3=(a-b)\left(a^2+ab+b^2\right)\]
Jak używać formuł skróconego mnożenia: przykłady
Teraz omówimy każdą formułę i sposób jej zastosowania przy rozwiązywaniu wyrażeń.
Kwadrat sumy dwóch liczb
Ta formuła pomaga podnieść do kwadratu sumę dwóch wyrażeń:
\[{(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2\]Załóżmy, że mamy sumę (a + b) i chcemy podnieść ją do kwadratu. Zgodnie z formułą, najpierw podnosimy każdy składnik do kwadratu: a² i b². Następnie dodajemy podwojony iloczyn obu składników: 2ab.
Wygląda to tak:
Kwadrat pierwszego składnika: a²
Podwojony iloczyn: 2ab
Kwadrat drugiego składnika: b²
Przykład: Podnosimy do kwadratu wyrażenie (3 + 4)²:
(3 + 4)² = 3² + 2 · 3 · 4 + 4² = 9 + 24 + 16 = 49
Kwadrat różnicy dwóch liczb
Ta formuła jest podobna do poprzedniej, ale dotyczy różnicy dwóch wyrażeń:
\[{(a-b)}^2=a^2-2ab+b^2\]Tak jak w poprzednim przypadku, podnosimy każdy składnik do kwadratu, ale zamiast dodawania, mamy odejmowanie. Podwojony iloczyn jest z ujemnym znakiem:
Kwadrat pierwszego składnika: a²
Odejmuje się podwojony iloczyn: -2ab
Kwadrat drugiego składnika: b²
Przykład dla wyrażenia (5 – 2)²:
(5 – 2)² = 5² – 2 · 5 · 2 + 2² = 25 – 20 + 4 = 9
Różnica kwadratów
Ta formuła pozwala szybko znaleźć różnicę kwadratów dwóch liczb:
\[a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\]Różnica kwadratów dwóch liczb zawsze równa się iloczynowi ich sumy i różnicy. Ta formuła jest przydatna, gdy widzisz różnicę kwadratów i chcesz ją rozłożyć na czynniki.
Przykład:
9² – 4² = (9 – 4)(9 + 4) = 5 · 13 = 65
Sześcian sumy dwóch liczb
Ta formuła pozwala obliczyć sześcian sumy dwóch liczb:
\[{(a+b)}^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\]Sześcian sumy składa się z kilku składników:
Sześcian pierwszego składnika: a³
Potrójny iloczyn kwadratu jednego składnika i drugiego: 3a²b oraz 3ab²
Sześcian drugiego składnika: b³
Przykład:
(2 + 1)³ = 2³ + 3 · 2² · 1 + 3 · 2 · 1² + 1³ = 8 + 12 + 6 + 1 = 27
Sześcian różnicy dwóch liczb
Aby podnieść do sześcianu różnicę dwóch liczb, używamy tej formuły:
\[{(a-b)}^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\]Zasada jest podobna do sześcianu sumy, ale niektóre znaki się zmieniają:
Sześcian pierwszego składnika: a³
Odejmujemy potrójny iloczyn kwadratu pierwszego składnika i drugiego: -3a²b
Dodajemy potrójny iloczyn pierwszego składnika i kwadratu drugiego: 3ab²
Odejmujemy sześcian drugiego składnika: -b³
Przykład:
(3 – 2)³ = 3³ – 3 · 3² · 2 + 3 · 3 · 2² – 2³ = 27 – 54 + 36 – 8 = 1
Podsumowanie
Formuły skróconego mnożenia to potężne narzędzie do upraszczania obliczeń matematycznych. Jeśli je zapamiętasz i nauczysz się ich stosowania, wiele zadań stanie się znacznie łatwiejszych.
