Co łączy ślimaka, naszą galaktykę i Leonardo da Vinci? Wszyscy mają bezpośredni związek z liczbami Fibonacciego — ciągiem, który otacza nas wszędzie: w przyrodzie, sztuce, a nawet w odległym kosmosie.
Niektórzy nazywają ciąg Fibonacciego najważniejszym w całej matematyce. Twierdzi się, że rządzi on wszystkim, co istnieje we wszechświecie. W tym artykule opowiemy, czym są liczby Fibonacciego, gdzie można je spotkać w przyrodzie i życiu oraz dlaczego tak wiele osób fascynuje się tym prostym ciągiem.
Kim był Fibonacci?
Leonardo Fibonacci, którego prawdziwe imię to Leonardo z Pizy, był wybitnym matematykiem średniowiecznej Europy. Urodził się około 1170 roku w Pizie we Włoszech. Jego ojciec był kupcem i często podróżował do Afryki Północnej, gdzie pracował jako konsul. To właśnie tam Leonardo zaczął uczyć się matematyki od arabskich nauczycieli.
Po powrocie do Włoch, Fibonacci zaczął wprowadzać Europejczyków do hindusko-arabskiego systemu liczbowego, który był wówczas nieznany w Europie. W 1202 roku opublikował książkę „Liber Abaci” („Księga liczydła”), w której wyjaśnił nowy system liczenia oparty na systemie dziesiętnym. Znacznie to ułatwiło obliczenia i stało się prawdziwą rewolucją w matematyce tamtych czasów.
Fibonacci napisał także kilka innych ważnych książek matematycznych, takich jak „Practica Geometriae” i „Flos”, w których rozwijał algebrę i geometrię. Jego prace pomogły rozpowszechnić wiedzę matematyczną i stały się podstawą dalszego rozwoju matematyki w Europie. Leonardo zmarł około 1250 roku, pozostawiając wielki wpływ na naukę matematyki.
Czym są liczby Fibonacciego?
Liczby (lub ciąg) Fibonacciego to ciąg, w którym każda kolejna liczba jest sumą dwóch poprzednich. Ciąg zaczyna się od liczb 0 i 1. Oto, jak wyglądają pierwsze liczby tego ciągu:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 …
Aby znaleźć dowolną liczbę w tym ciągu, należy dodać do siebie dwie poprzednie liczby. Na przykład, 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2 i tak dalej.
To właśnie Fibonacci po raz pierwszy przedstawił ten ciąg w swojej książce Liber Abaci w 1202 roku. Użył go, aby pokazać, jak szybko może wzrosnąć liczba królików, jeśli każda para królików rodzi nową parę co miesiąc, począwszy od drugiego miesiąca życia.
Chociaż ciąg liczb był znany już w starożytnych Indiach, to dzięki Fibonacciemu stał się popularny w Europie. Dlatego też ciąg ten nazywa się jego imieniem.
Wzór ciągu Fibonacciego
Wzór ciągu Fibonacciego pozwala obliczyć dowolny wyraz tego ciągu. Wygląda on tak:
Fn = Fn-1 + Fn-2
- gdzie Fn — to n-ty wyraz w ciągu,
- Fn-1 + Fn-2 — to dwa poprzednie wyrazy.
Dlaczego liczby Fibonacciego są tak fascynujące?
Ciąg Fibonacciego jest ściśle związany ze złotym podziałem – szczególną proporcją, zwaną także boską proporcją. Mówiąc prościej, złoty podział występuje, gdy stosunek między dwoma częściami czegoś wynosi około 1.618. Liczbę tę oznacza się symbolem 𝜑 (phi).
Jak to wygląda w praktyce? Wyobraźmy sobie odcinek podzielony na dwie części – większą aaa i mniejszą bbb. Odcinek będzie podzielony zgodnie ze złotym podziałem, jeśli stosunek całego odcinka do większej części jest równy stosunkowi większej części do mniejszej, czyli:
\[\frac{a+b}a=\frac ab=\varphi\]
Ale co mają do tego liczby Fibonacciego? To proste – w ciągu Fibonacciego każdy kolejny wyraz zwiększa się zgodnie z zasadami złotego podziału. Jeśli podzielimy dowolną liczbę Fibonacciego przez poprzednią, otrzymamy liczbę bliską 1.618. W ten sposób ciąg Fibonacciego jest powiązany ze złotym podziałem.
Liczby Fibonacciego w życiu
Ciąg Fibonacciego występuje w muzyce, sztuce, przyrodzie, kosmosie i wszędzie wokół nas. Zwykle można go spotkać w formie złotego podziału. Jest tak wiele przykładów, że ludzie przypisują tym liczbom niemal magiczne znaczenie. Niektórzy nawet uważają, że to podstawa stworzenia wszechświata. Oto kilka przykładów liczb Fibonacciego wokół nas.
Ciąg Fibonacciego w przyrodzie
Spiralne muszle: Muszle wielu mięczaków rosną w formie spirali, która często odpowiada liczbom Fibonacciego.
Rozmieszczenie liści na łodydze: U wielu roślin liście są rozmieszczone na łodydze w taki sposób, aby maksymalizować pochłanianie światła słonecznego. Odległość między liśćmi i liczba liści w okółku często odpowiadają liczbom Fibonacciego.
Kwiaty i kwiatostany: Liczba płatków kwiatów często odpowiada liczbom Fibonacciego. Na przykład lilie mają 3 płatki, jaskry – 5, stokrotki – 34 lub 55. Podobne regularności można zaobserwować w rozmieszczeniu nasion w szyszkach sosny czy słonecznikach.
Liczby Fibonacciego w sztuce
Liczby Fibonacciego i złoty podział są często używane w sztuce do tworzenia harmonijnych i pięknych dzieł. Oto trzy przykłady, gdzie można je zobaczyć:
Partenon w Atenach: Wysokość fasady Partenonu odnosi się do jej szerokości zgodnie z zasadą złotego podziału. Jeśli podzielimy fasadę na kwadraty i prostokąty, wiele z nich będzie odpowiadać liczbom Fibonacciego. Liczba kolumn i ich rozmieszczenie również podporządkowują się zasadzie złotego podziału, co czyni budowlę wizualnie harmonijną.
Mona Lisa Leonarda da Vinci: Jeśli spojrzeć na twarz Mony Lisy, można zauważyć, że odległość od górnej części głowy do podbródka odnosi się do odległości od oczu do podbródka w stosunku około 1.618. Leonardo używał tych proporcji, aby osiągnąć harmonię między postacią Mony Lisy a tłem. Stosunek wysokości i szerokości obrazu również zbliża się do złotego podziału.
