Co to są liczby pierwsze? Tabela liczb pierwszych i wyjaśnienia

W tym artykule platforma edukacyjna Mathema wyjaśni, czym są liczby pierwsze, czym są liczby względnie pierwsze i jak je rozpoznać. Znajdziesz tu również tabelę liczb pierwszych.

Czym jest liczba pierwsza?

Liczba pierwsza to liczba naturalna, która dzieli się bez reszty tylko przez 1 i przez samą siebie. Na przykład, liczby 2, 5 i 11 są pierwsze, ponieważ można je podzielić tylko przez 1 i przez samą siebie.

Lista pierwszych dziesięciu liczb pierwszych: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

Liczba pierwsza nie może być rozłożona na czynniki innych liczb poza 1 i samą sobą. Najmniejszą liczbą pierwszą jest 2 i jest to jedyna parzysta liczba pierwsza. Wszystkie inne liczby pierwsze są nieparzyste.

Liczby pierwsze są używane do szyfrowania informacji, aby zapewnić bezpieczeństwo transmisji danych w internecie. Pomagają również lepiej zrozumieć właściwości liczb i rozwiązywać zadania matematyczne.

Liczby pierwsze odgrywają ważną rolę w wielu matematycznych twierdzeniach i badaniach. Na przykład, starożytny grecki matematyk Euklides udowodnił, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele.

Liczby pierwsze to nie tylko koncepcje matematyczne, ale także istotna część nauki, która ma wiele zastosowań w naszym codziennym życiu.

Tabela liczb pierwszych do 1000

Poniżej znajduje się tabela wszystkich liczb pierwszych do 1000.

Czym są liczby względnie pierwsze?

Liczby względnie pierwsze to co najmniej dwie liczb, które nie mają żadnego wspólnego dzielnika poza 1. Innymi słowy, ich największy wspólny dzielnik (NWD) wynosi 1.

Na przykład:

• Liczby 8 i 15 są względnie pierwsze. Dzielniki liczby 8: 1, 2, 4, 8. Dzielniki liczby 15: 1, 3, 5, 15. Jedyny wspólny dzielnik to 1.
• Liczby 9 i 28 również są względnie pierwsze. Dzielniki liczby 9: 1, 3, 9. Dzielniki liczby 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28. Jedyny wspólny dzielnik to 1.

Aby sprawdzić, czy liczby są względnie pierwsze, można znaleźć ich wspólne dzielniki lub skorzystać z algorytmu Euklidesa do znalezienia NWD. Jeśli wynik NWD wynosi 1, liczby są względnie pierwsze.

Liczby względnie pierwsze są często wykorzystywane w kryptografii i teorii liczb, na przykład w algorytmach kryptograficznych takich jak RSA.

Ciekawostki o liczbach pierwszych

• Twierdzenie o liczbach pierwszych: Każda liczba naturalna (oprócz 1) jest albo liczbą pierwszą, albo można ją rozłożyć na czynniki pierwsze w jedyny możliwy sposób.
• Historia dowodu: Twierdzenie o liczbach pierwszych zostało po raz pierwszy przedstawione przez Karla Friedricha Gaussa w 1793 roku, kiedy miał zaledwie 16 lat. Oficjalny dowód tego twierdzenia został podany w 1896 roku przez Jacques’a Hadamarda i Charles’a de la Vallée-Poussina.
• Odległość między liczbami pierwszymi: Odległość między dowolnymi dwoma kolejnymi liczbami pierwszymi wynosi co najmniej 2. W niektórych przypadkach ta odległość wynosi dokładnie 2, na przykład pary 3 i 5, 17 i 19.
• Rzadkość liczb pierwszych: Liczb pierwszych jest coraz mniej w miarę wzrostu liczb. Na przykład, w pierwszych 10 liczbach (1-10) są cztery liczby pierwsze, w kolejnych 10 liczbach (11-20) również cztery, a w trzeciej grupie 10 liczb (21-30) – tylko dwie.
• Nieskończoność liczb pierwszych: Istnieje nieskończona liczba liczb pierwszych. Zostało to udowodnione przez matematyka Euklidesa już w starożytności.