Одним із найважливіших етапів вивчення звичайних дробів є їх спрощення до найпростішого вигляду. Завдяки скороченню ми можемо максимально полегшити обчислення. Без сумніву, зручніше працювати з скороченим дробом, ніж із нескороченим.
\[\frac57;\;\frac{60}{84}\]
Обидва дроби рівні, тому після спрощення ми отримуємо дріб, рівний даному.
Дріб буде найпростішим, якщо чисельник і знаменник є взаємно простими числами або не мають спільних дільників, окрім 1. Ділення чисельника та знаменника на одне й те ж число, відмінне від 1, називається скороченням дробів. Є кілька способів скорочення.
Способи скорочення дробів
Для того, щоб досконало володіти звичайними дробами та вміти їх скорочувати, можна обрати для себе найпростіший спосіб їх спрощення.
Виділимо три основні методи скорочення дробів:
- Метод послідовного скорочення.
- Ділення на НСД чисельника та знаменника.
- Розкладання на прості множники.
Використовуючи, будь-який із запропонованих дробів отримаємо нескоротний дріб. Далі розберемо кожен метод детально.
Метод послідовного скорочення
Даний метод полягає у послідовному діленні чисельника та знаменника на спільний множник. Розглянемо, наприклад, дріб:
\[\frac8{48}\]
Послідовно скоротимо його до найпростішого вигляду, поки чисельник і знаменник не матимуть спільних множників, окрім 1.
Крок 1. Знайти спільний дільник чисельника і знаменника.Розглянемо дільники кожного числа окремо:
Число 8: дільники — 1, 2, 4, 8
Число 48: дільники — 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
Найменший спільний дільник для чисел 8 і 48 — це число 2.
Крок 2. Поділити чисельник і знаменник на знайдений спільний множник. Оскільки ми знайшли спільний дільник 2, поділимо чисельник і знаменник на 2:
\[\frac8{48}=\frac4{24}\]
Крок 3. Повторювати крок 2, доки залишаться лише дільники, окрім 1.
\[\frac8{48}=\frac4{24}=\frac2{12}=\frac16\]
Виконай самостійно:
\[\frac{18}{27}\]
Ділення на НСД чисельника та знаменника
Найбільший спільний дільник (НСД) — це найбільше число, на яке діляться обидва дані числа. Розглянемо приклад скорочення дробу:
\[\frac{24}{48}\]
Крок 1. Знайти НСД чисельника і знаменника дробу.
- Дільники числа 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
- Дільники числа 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
- Найбільший спільний дільник (НСД) для чисел 24 і 48 — це 24.
Крок 2. Поділити чисельник та знаменник на НСД
\[\frac{24}{48}=\frac12\]
Розкладання на прості множники
Розкласти на прості множники означає записати число у вигляді добутку простих чисел. Просте число — це натуральне число, яке має лише два різні дільники: 1 та саме себе.
Нижче наведено кроки для скорочення дробу за допомогою розкладу на прості множники. Розглянемо приклад дробу:
\[\frac{12}{54}\]
Крок 1. Розкласти чисельник та знаменник дробу на прості множники.
- Чисельник 12 можна записати як
2 × 2 × 3. - Знаменник 54 можна записати як
2 × 3 × 3 × 3.
Крок 2. Викреслюємо спільні множники у чисельнику та знаменнику:
\[\frac{2\times2\times3}{2\times3\times3\times3}=\frac2{3\times3}\]
Крок 3. Записати отриманий дріб.
\[\frac29\]
Які дроби не скорочують?
Не кожен дріб можна скоротити. У математиці є так звані нескоротні дроби.
Нескоротній дріб — це дріб, чисельник і знаменник якого є взаємно простими числами. Тобто, найбільший спільний дільник чисельника і знаменника такого дробу дорівнює 1.
Щоб розпізнати нескоротний дріб, пам’ятайте:
- НСД чисельника та знаменника такого дробу — це 1.
- Дроби з чисельником 1 завжди нескоротні.
Приклади нескоротних дробів:
\[\frac12,\;\frac37,\;\frac7{11},\;\frac{19}{31}\]
Висновок
Навчитися скорочувати дроби — це базовий навик, який спрощує всі подальші математичні обчислення. Якщо вашій дитині потрібно краще розібратися в цій темі або інших математичних поняттях, звертайтесь до репетитора з математики для 6 класу. Спеціаліст допоможе закріпити знання і впевнено застосовувати їх на практиці.
