Зовнішній кут трикутника — це кут, який утворюється продовженням однієї зі сторін трикутника за його межі. Іншими словами, якщо одну зі сторін трикутника продовжити за вершину, то кут між продовженою стороною і сусідньою стороною трикутника називається зовнішнім кутом.
Формулювання теореми про зовнішній кут трикутника
Теорема про зовнішній кут трикутника стверджує, що зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних з ним.
Математичний запис теореми:
Якщо α, β, γ – це внутрішні кути трикутника, а δ зовнішній кут для γ, то теорема записується як:
δ = α+β
- де α і β — це внутрішні кути трикутника, які не є суміжними з зовнішнім кутом δ.
Доведення теореми
Доведемо теорему про зовнішній кут на прикладі трикутника ABC, де ∠ACB — один з внутрішніх кутів, а ∠ACD — зовнішній кут, утворений продовженням сторони BC.
- Відомо, що сума всіх внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180 градусів. Тому для трикутника ABC маємо: ∠A + ∠B + ∠C = 180°
- Оскільки ∠ACD є зовнішнім кутом трикутника при вершині C, а ∠ACB є суміжним з ним, то сума цих кутів також дорівнює 180 градусів: ∠ACD + ∠ACB = 180°
- Порівняємо дві рівності: з першої маємо, що ∠A + ∠B = 180° – ∠ACB, і з другої, що ∠ACD = 180° – ∠ACB.
- Таким чином, зовнішній кут ∠ACD дорівнює сумі двох внутрішніх кутів ∠A і ∠B, що й доводить нашу теорему.
Приклади
Приклад 1:
Розглянемо трикутник з кутами ∠A = 40°, ∠B = 60°, і ∠C = 80°. Якщо ми продовжимо сторону BC, то зовнішній кут при вершині C, тобто ∠ACD, буде дорівнювати:
∠ACD = ∠A + ∠B = 40° + 60° = 100°
Отже, зовнішній кут дорівнює 100 градусів.
Приклад 2:
У трикутнику з кутами ∠A = 35°, ∠B = 50°, і ∠C = 95° зовнішній кут при вершині C, утворений продовженням сторони BC, буде дорівнювати:
∠ACD = ∠A + ∠B = 35° + 50° = 85°
Таким чином, зовнішній кут ∠ACD становить 85 градусів.
